36. Численное дифференцирование на основе интерполяции.
Если функция
задана таблично, то аналитическое
дифференцирование невозможно. Строится
интерполяционный полином и его производную
принимают приближенно за
.
Запишем 1-ую форму интерполяционного полинома Ньютона на равномерной сетке:
|
(1) |
где
.
- погрешность
интерполяции.
Дифференцируя (1), получим:
,
где
-
- теоретическая погрешность производной.
Пример 1.
Пусть
.
Вычислить приближенно первую производную
и оценить погрешность (теоретическую).
На данной сетке
получаем:
.
Интерполяционный полином третьего порядка имеет вид:
;
;
.
37. Численное дифференцирование на равномерной сетке, основанное на тэйлоровском разложении. Теорема об аппроксимации первой и второй производной.
Пусть задана сетка
.
Теорема 4.1.
Обозначим
и т.д. и пусть
,
тогда существует такая точка
,
для которой справедлива формула:
|
(2) |
Т.к.
,
то справедливо разложение Тейлора с
центром в точке
и остаточным членом в форме Лагранжа:
.
В точке
получаем:
,
откуда следует
,
что и требовалось доказать.
Теорема 4.2. Пусть
тогда
.
(3)
Самостоятельно. См. ход доказательства следующей теоремы .
Теорема 4.3. Пусть
,
тогда существует такая точка
,
что справедлива формула
|
(4) |
.
По условию теоремы
справедливо тейлоровское разложение
функции
с центром в точке
:
,
(5)
где
.
Положим в формуле (5) последовательно
и
:
Складывая эти две формулы, получим
.
В силу непрерывности
четвертой производной
:
,
Откуда следует:
,
т.е. формула (4)
.
Замечание. Формулы
(2), (3) и (4) называются формулами
численного дифференцирования.
При этом формула (2) аппроксимирует
первую производную в узле
правой
конечной разностью
и имеет порядок
точности
(т.е.
первый
порядок);
формула (3)
аппроксимирует первую производную
центральной конечной разностью и имеет
порядок
точности
(второй
порядок);
формула (4) аппроксимирует вторую
производную в узле
центральной конечной разностью и имеет
порядок
точности
.
38. Задача Коши. Постановка задачи. Сведение к системе для уравнения n-ого порядка.
Задача Коши для ОДУ первого порядка для функции одной переменной ставится следующим образом:
|
(6) |
Более общая постановка задачи Коши для дифференциального уравнения n-го порядка:
|
(7) |
Здесь
- заданные числа (начальные условия).
Задача (7) с помощью замены переменных
,
сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка:
|
(8) |
Систему (8) можно переписать в векторном виде:
|
(9) |
,
где
,
,
.
Система (9) исследуется и решается аналогично одномерной задаче Коши (6), поэтому важно изучить, прежде всего, численные методы решения задачи (6).
В курсе математического
анализа формулируется и доказывается
теорема существования и единственности
решения задачи Коши. Отметим, что для
выполнения теоремы необходимо и
достаточно, чтобы функция
имела непрерывные частные производные
по
в замкнутой ограниченной области
на плоскости
.