20. Классические ортогональные многочлены. Построение ортогональных многочленов на каноническом отрезке [-1,1].
Рассмотрим систему
алгебраических многочленов
(34)
Такая система,
рассматриваемая в гильбертовом
пространстве
,
линейно независима при
.
Однако, непосредственная подстановка
алгебраических многочленов в систему
(30) неэффективна, т.к. приводит к плохо
обусловленной системе уравнений. На
базе системы (34) можно построить
ортогональные полиномы на заданном
отрезке (или бесконечном промежутке) с
заданной весовой функцией
.Рассмотрим
один из алгоритмов ортогонализации,
известный как рекуррентная
процедура Грама-Шмидта. Новая
система полиномов, ортогональная на
с весом
строится рекуррентно:
.
Накладывая условие
ортогональности:
,
получаем формулу для коэффициентов
:
|
(35) |
Пример 16.
Пусть отрезок
.
Построить первые три ортогональных
полинома
,
используя процедуру Грама-Шмидта.
Полагаем
.
Далее по формулам (35) находим
откуда получаем
Действуя аналогично далее, получаем:
.
Существует другой
- более эффективный способ построения
ортогональных многочленов. В частности,
для системы ортогональных многочленов
на отрезке
с весом
,
справедливы следующие две формулы:
формула Родрига:
(36)
и рекуррентная
формула:
(37)
Из (36) последовательно
получаем:
;
Далее по рекуррентной формуле (37) при
находим:
.
Получаемые таким образом полиномы
называются полиномами
Лежандра.
Замечание. Найденные по процедуре (36)-(37) ортогональные многочлены могут лишь множителями отличаться от тех, которые строятся по методу Грама-Шмидта.
Квадрат нормы
полиномов Лежандра равен
11. Численное интегрирование. Использование функциональных рядов.
Пусть
.
Тогда существует определенный интеграл
,
согласно формуле Лейбница.
Однако во многих
случаях первообразная
не выражается в аналитическом виде,
поэтому приходится применять те или
иные численные методы.
Примеры «неберущихся» интегралов:
– интегральный
синус;
–
интеграл вероятности;
- интеграл Френеля,
и другие.
Одним из способов численного интегрирования является разложение подынтегральной функции в те или иные ряды (например, в ряд Тейлора) и почленное интегрирование полученного ряда. Например, для «интегрального синуса» получаем с помощью тейлоровского разложения:
.
Взяв конечное
число членов разложения, получим
приближенное значение интегрального
синуса
.
При этом абсолютная ошибка приближения
оценивается по остаточному члену
тейлоровского разложения.
Подобные примеры рассматриваются на семинарском занятии.
Другой подход основан на интерполяции подынтегральной функции по Лагранжу или Ньютону. В результате получаются так называемые квадратурные формулы. В следующем параграфе этот подход рассматривается более подробно.
12. Квадратурная формула на основе интерполяции. Формулы дл коэффициентов и остаточного члена.
Пусть задана сетка
узлов
,
не обязательно равномерная. Требуется
приближенно вычислить интеграл
.
Представим подынтегральную функцию
интерполяционным полиномом Лагранжа
по данной системе узлов:
,
тогда
,
где
- приближенное значение интеграла,
- ошибка приближения.
Используя
представление полинома Лагранжа через
фундаментальные полиномы
,
получим:
(1)
Где
.
Формула (1) называется
квадратурной формулой n-го
порядка. Если
,
то используя формулу погрешности
интерполяции в точке, получим следующее
выражение для погрешности квадратурной
формулы:
|
(2) |
Оценивая обе части (2) по модулю, получим оценку абсолютной погрешности
|
(3) |
,
Где
,
Стандартные квадратурные формулы
получаются для равномерной сетки
.
Воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона:
|
(4) |
,
где
.
В этом случае
квадратурная формула n-го
порядка получается при подстановке
представления (4) в интеграл
и представления конечных разностей
в виде линейной комбинации узловых
значений функции
(согласно свойству конечных разностей).
Для ошибки квадратурной формулы n-го
порядка соответственно получаем
выражение:
|
(5) |
.
После замены
переменной
,
окончательно получаем:
|
(5) |
.
Условие
связано с тем, что при
понятие «шага» сетки не определено.