41. Общая постановка краевой задачи для решения оду второго порядка. Классификация граничных условий.

Рассмотрим вначале общую нелинейную постановку краевой задачи для ОДУ второго порядка:

(18)

В постановке задачи (18) принята следующая классификация граничных условий:

при - краевые условия – однородные;

при - краевое условие первого рода на левом конце;

при - краевое условие второго рода на левом конце; при - краевые условия третьего рода на левом конце. На правом конце отрезка краевые условия классифицируются аналогично.

42. Метод «стрельбы» решения краевой задачи с граничными условиями первого рода.

Отметим основное отличие краевой задачи (18) от задачи Коши: в задаче Коши начальные условия задаются в одной точке (как правило, на левом конце отрезка), а в краевой задаче – на обоих концах. Естественно попытаться свести краевую задачу к задаче Коши, т.к. для нее разработаны эффективные приближенные методы решения. Таковым, например, является метод стрельбы.

Для простоты рассмотрим задачу (18) с краевыми условиями первого рода:

(19)

Заменим задачу (19) на следующую задачу Коши:

(20)

Решаем задачу (20) подходящим методом Рунге-Кутты. Обозначим полученное решение и вычислим величину - погрешность решения на правом конце. Корректируем угловой коэффициент на левом конце в зависимости от знака погрешности, заменяя его на . Находим новое решение и т.д. до тех пор, пока не выполнится условие , где - заданная погрешность. Название метода связано с его геометрической интерпретацией: стрельба из точки с координатами под углом, определяемым угловым коэффициентом .

43. Метод конечных разностей решения линейной краевой задачи для оду второго порядка.

Наиболее эффективно этот метод применяется для линейной краевой задачи, постановка которой для дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

(21)

Введем равномерную сетку - шаг сетки.

Определим на этой сетке сеточные функции:

, где - точное решение на сетке.

Запишем основное уравнение системы (21) для фиксированного узла :

. (22)

В каждом внутреннем узле сетки ( ) аппроксимируем производные по формулам второго порядка точности (см. теор. 4.1 – 4.3):

Подставим полученные соотношения в (22):

,

где обозначено - сеточный оператор, действующий на сетке. Умножая обе части уравнения на и отбрасывая остаточный член, получим приближение к точному уравнению:

.

Приводя подобные члены, получим окончательно:

, где .

(23)

Общее число неизвестных на сетке равно ( ), а система (23) содержит уравнение для неизвестных . Недостающие значения должны быть определены из граничных условий. Порядок аппроксимации основного уравнения системы . При постановке задачи с краевыми условиями первого рода порядок аппроксимации всей схемы не ухудшится и будет равен . В случае краевых условий второго или третьего рода необходимо аппроксимировать их также со вторым порядком, чтобы не потерять общий второй порядок аппроксимации всей схемы.