10. Среднеквадратичное приближение функций. Постановка задачи, теорема о существовании и единственности.

Общая постановка задачи и ее разрешимость.

Пусть задана система функций , - весовая функция.

Определение. Обобщенным полиномом порядка по системе называется линейная комбинация где – произвольные вещественные коэффициенты.

Постановка задачи среднеквадратичного приближения функции .

Найти такой обобщенный полином

наименее уклоняющийся от функции в метрике , т.е. удовлетворяющий условию:

.

Многочлен , удовлетворяющий указанному условию, называется многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения.

Теорема 1.4. Если система функций линейно независима, то задача среднеквадратичного приближения однозначно разрешима.

Распишем квадрат расстояния между функцией и полиномом:

.	(29)

Очевидно, что величина - неотрицательно определенная квадратичная функция переменных , а такая функция всегда имеет минимум. Т.о. решение задачи среднеквадратичного приближения существует.

Докажем единственность решения. Минимум функции можно найти из необходимых условий экстремума (для неотрицательной квадратичной функции они являются так же и достаточными):

Применяя данное условие к (29), получим систему линейных уравнений:

(30)

Система (30) называется нормальной системой уравнений.

Выпишем определитель системы (30).

(31)

Определитель (31) – так называемый определитель Грама системы функций .

В курсе линейной алгебры доказывается, что, если система линейно независима, то , отсюда следует существование и единственность решения (30).

Доказывается от противного. Пусть однородная система уравнений, получаемая из (2) при нулевой правой части имеет нетривиальное решение. Обозначим его .

Используя свойства скалярного произведения, запишем уравнения однородной системы следующим образом:

(32)

Умножая уравнения системы (32) соответственно на и складывая, получим

Отсюда по свойству нормы следует, что ,

причем не все тождественно равны нулю, а это значит, что система - линейно зависима, что противоречит условию теоремы. Т.о. и неоднородная система (30) имеет единственное решение.

Наиболее просто решается система (30), если система функций - ортогональна, т.е. выполняется условие .

Заметим, что справедливо одно из важных свойств ортогональной системы функций: если система - ортогональна, то она линейно независима.

Пусть система ортогональна на . Тогда система (30) становится диагональной: .

Отсюда искомые коэффициенты находим по формуле

.

(33)

и тем самым определяется многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения: .

Полученный обобщенный многочлен называют обобщенным многочленом Фурье для функции по системе , а коэффициенты - коэффициентами Фурье.