Билет №15

1.Формирование систем координат элементов конструкции ркс

Формирование прямоугольной системы координат для любого объекта можно осуществить на трех точках поверхности или на двух точках и одном направлении.

5.4.1 Формирование системы координат на трёх точках

Пусть в выбранной глобальной системе координат O₀,X₀,Y₀,Z₀ заданы координаты трёх произвольных точек 1, 2, 3, не лежащих на одной прямой (рис. 9).

Рис. 9. К построению системы координат на трех точках

Координаты точек определены центральными векторами

R₁ = [X_1,0 Y_1,0 Z _1,0]

R₂ = [X_2,0 Y_2,0 Z_2,0]

R₃ = [X_3,0 Y_3,0 Z_3,0]

Начало отсчёта О системы координат X, Y, Z поместим в точку 1. Оси формируемой системы координат O X, Y, Z можно направить следующим образом. Одна из них (ось X) совпадает с направлением от точки 1 к точке 2, другая (ось Y) – с нормалью к плоскости, образованной тремя точками, а третья (ось Z) достраивается по направлениям двух первых.

Для определения направлений осей координат X, Y, Z введем два вспомогательных вектора R_1,2 и R_1,3.

R_1,2 = R₂ - R₁ = [X_2,0 - X_1,0 Y_2,0 - Y_1,0 Z_2,0 - Z_1,0]

R_1,3 = R₃ - R₁ = [X_3,0 - X_1,0 Y_3,0 - Y_1,0 Z_3,0 - Z_1,0]

Направляющие косинусы l₁, m₁, n₁ первой оси формируемой системы координат совпадают с направляющими косинусами вектора R_1,2:

[l₁ m₁ n₁] = R_1,2/R_1,2,

где R_1,2 = [(X_2,0 - X_1,0)² + (Y_2,0 - Y_1,0)² + (Z_2,0 - Z_1,0)²]^0,5

Нормаль к плоскости совпадает с направлением вектора R₄ , который в свою очередь является результатом векторного произведения векторов R_1,2 и R_1,3.

R₄ = R_1,2  R_1,3.

Направляющие косинусы вектора R₄ вычисляют по соотношениям

[l₂ m₂ n₂] = R₄/ R₄,

где R₄ = [(a_xb_z - a_zb_y) (a_zb_x - a_xb_z) (a_xb_y – a_yb_x)]

R₄ = [(a_xb_z - a_zb_y)² + (a_zb_x - a_xb_z)² + (a_xb_y – a_yb_x)²]^0,5

a_x = X_2,0 - X_1,0, a_y = Y_2,0 - Y_1,0, a_z = Z_2,0 - Z_1,0, b_x = X_3,0 - X_1,0, b_y = Y_3,0 - Y_1,0, b_z = Z_3,0 - Z_1,0.

Положительное направление вектора R₄ зависит от направлений векторов R_1,2 и R_1,3 и совпадает с направлением, представленным на рис. 10.

Для вычисления направляющих косинусов третьей оси рассмотрим свойства квадратной, ортогональной матрицы A размерностью 33

A =

1. Сумма квадратов элементов одной строки или столбца равна 1.

l₁²+ l₂²+ l₃²= 1

l₁²+ m₁²+ n₁²= 1 и т.д.

2. Сумма произведений соответственных элементов двух строк или двух столбцов равна нулю.

l₁  m₁ + l₂  m₂ + l₃  m₃ = 0

l₁  l₂ + m₁  m₂ + n₁  n2 = 0 и т.д.

3. Каждый элемент равен своей адъюнкте.

Тогда:

[l₃ m₃ n₃] = [m₁  n₂ - m₂  n₁ l₂  n₁ - l₁  n₂ l₁  m₂ - l₂  m₁]

Таким образом, получены все направляющие косинусы всех осей координат, построенных на трех точках. Каждому из направлений осей может быть присвоено наименование в соответствии с правосторонней системой, принятой в машиностроении, как это сделано, например, на рис. 9.

5.4.2. Формирование системы координат на двух точках и одном направлении

Рис. 10. К формированию системы координат по двум точкам и направлению

Пусть в выбранной глобальной системе координат O₀, X₀, Y₀, Z₀ (рис. 10) заданы две точки центральными векторами

R₁ = [X_1,0 Y_1,0 Z_1,0]

R₂ = [X_2,0 Y_2,0 Z_2,0]

и направление одной из осей, не параллельное прямой, проходящей через эти точки

a₁ = [l₁ m₁ n₁]

Начало отсчёта О системы координат X, Y, Z поместим в точку 1. Оси формируемой системы координат X, Y, Z можно направить следующим образом. Одна из них (ось X) параллельна вектору а. Другая (ось Y) совпадает с нормалью к плоскости, образованной двумя векторами: вектором, исходящим из точки 1 параллельным вектору и а, и вектором R_1,2 от точки 1 к точке 2, а третья (ось Z) достраивается по направлениям двух первых.

Направляющие косинусы первой оси совпадают с направляющими косинусами заданного направления [l₁ m₁ n₁]

Для определения направления второй оси введем вспомогательный вектор R_1,2

R₁₂ = R₂ - R₁ = [X_2,0 - X_1,0 Y_2,0 - Y_1,0 Z_2,0 - Z_1,0]

Нормаль к плоскости совпадает с направлением вектора R₃ , который в свою очередь является результатом векторного произведения векторов R_1,2 и R_1,3.

R₃ = R_1,2  a.

Направляющие косинусы вектора R₄ вычисляют по соотношениям

[l₂ m₂ n₂] = R₃/ R₃,

где R₃ = [(a_xb_z - a_zb_y) (a_zb_x - a_xb_z) (a_xb_y – a_yb_x)]

R₃ = [(a_xb_z - a_zb_y)² + (a_zb_x - a_xb_z)² + (a_xb_y – a_yb_x)²]^0,5

a_x = X_2,0 - X_1,0, a_y = Y_2,0 - Y_1,0, a_z = Z_2,0 - Z_1,0, b_x = l₁, b_y = m₁, b_z = n₁.

Положительное направление вектора R₃ зависит от направлений векторов R₁₂ и a и совпадает с направлением, представленным на рис. 6.

Для вычисления направляющих косинусов третьей оси рассмотрим свойства квадратной, ортогональной матрицы A размерностью 33

A =

1. Сумма квадратов элементов одной строки или столбца равна 1.

l₁²+ l₂²+ l₃²= 1

l₁²+ m₁²+ n₁²= 1 и т.д.

2. Сумма произведений соответственных элементов двух строк или двух столбцов равна нулю.

l₁  m₁ + l₂  m₂ + l₃  m₃ = 0

l₁  l₂ + m₁  m₂ + n₁  n₂ = 0 и т.д.

3. Каждый элемент равен своей адъюнкте.

Тогда:

[l₃ m₃ n₃] = [m₁  n₂ - m₂  n₁ l₂  n₁ - l₁  n₂ l₁  m₂ - l₂  m₁]

Таким образом, получены все направляющие косинусы всех осей координат, построенных на двух точках и одном направлении. Каждому из направлений осей может быть присвоено наименование в соответствии с правосторонней системой, принятой в машиностроении.