Для всех несимметричных поверхностей используют номинальные отсчётные поверхности.

2.Формализация отношений между допусками входных и выходных параметров технических систем

Выходные параметры Y_k являются функциями F_k, независимых входных параметров x_i отражающими их влияние на формирования выходных параметров:

Y_k = F_k(x_i,c_j)

где x_i – входные параметры (i=1…n);

с_j – константы, входящие в уравнения выходных параметров (j=1…m).

Все входные параметры и константы, входящие в уравнения выходных параметров можно представить двумя множествами: множеством входных параметров x_i М_x и множеством константы с_j М_с.

Выходные параметры элемента конструкции Y_k являются сложными функциями F_k независимых (ортогональных) входных параметров x_i, и констант с_j.

Множество выходных параметров Y_k  М_Y (k=1…l) можно представить системой l уравнений с n неизвестными

Y₁ =F₁(a_1ix_i, b₁c_1j)

………………..…

Y_k = F_k(a_kix_i, b_kc_1j)

………………..…

Y_l = F_l (a_lix_i, b_lc_1j)

где a_ki = 1, b_kj = 1, если в уравнении x_i или с_j присутствуют и a_ki = 0, b_kj = 0, если нет.

При проектировании РКС определяют численные значения всех входных параметров, при которых РКС соответствует требованиям технического задания. Такие значения входных параметров x_i называют номинальными и обозначают x_нi. После подстановки номинальных значений входных параметров x_нi в уравнения выходных параметров Y_k получим номинальные значения выходных параметров Y _нk.

На выходные параметры Y_k задают предельные отклонения (допуски) Y_k, при которых элемент конструкции выполняет служебное назначение с приемлемым качеством. Отклонения выходных параметров являются сложной функцией F_k* входных параметров x_i, предельных отклонений входных параметров x_i, и констант с_j:

Y₁ = F₁^*(a_1ix_i,  x_i, b₁c_1j)

……………………….….

Y_k = F_k^*(a_kix_i,  x_i, b_kc_1j)

…………..………..…..…

Y_l = F_l^*(a_lix_i,  x_i, b_lc_1j)

Допуски на выходные параметры Y_k могут быть обеспечены разными значениями интервалов предельных отклонений x_i входных параметров при одних и тех же их номинальных значениях.

Ограничения на выходные параметры и допуски на независимые входные параметры не могут назначаться произвольно. Допуски на выходные параметры назначают исходя из терпимых (толерантных) интервалов значений выходных параметров технических систем, при которых целевой или технический эффект остается в приемлемых границах. Допуски на входные параметры должны быть совместными по выходным параметрам.

Рассмотрим это утверждение на примерах.

1. Допустим, что система имеет только один выходной параметр Y₁, который зависит только от одной переменной x. (рис. 1).

Рис. 1. Связь полей допусков выходных и входных параметров

Пусть функция Y₁=F₁(x) имеет экстремум в области существования аргумента x. Этому значению Y_1max выходного параметра соответствует некоторое единственное значение x_1max. Можно предположить, что ввиду неизбежных погрешностей при формировании параметра x выходной параметр Y₁ будет отличаться от экстремального значения Y_1max в пределах терпимого (толерантного) интервала (Y_1max, Y_1min). Тогда этому интервалу значений параметра Y₁ будет соответствовать интервал значений (x_1min, x_1max) параметра x.

Если поле допуска выходного параметра Y₁ задают в пределах терпимого (толерантного) интервала значений Y_1minYY_1max, то поле допуска входного параметра x₁, должно соответствовать интервалу значений x_1minxx_1max.

Поле допуска входного параметра х обычно задают интервалом значений от x_1min= х₀ -  до x_1max=х₀ + , где х₀ – координата середины поля допуска;  – половина поля допуска.

2. Если на другой выходной параметр Y₂ = F₂(x) , не имеющий экстремума в области существования аргумента x, наложено ограничение вида

Y_2min  Y  Y_2max,

то ему соответствуют границы допускаемых значений входного параметра x (рис. 1):

x_2min  x  x_2max

Необходимо заметить, что поля допусков входного параметра x функций Y₁ и Y₂ не перекрываются. Следовательно, нет ни значения входного параметра x, ни интервала значений, удовлетворяющих ограничениям на выходные параметры Y₁ и Y₂.

Одностороннее ограничение значений параметра х: х  x_min, или х  x_max является частным случаем границ полей допусков.

3. Пусть выходные параметры Y_k имеющие как линейный, так и нелинейный характер зависят только от одного параметра:

Y_k= F_k(x)

На рис. 2 представлено несколько выходных параметров Y_k, имеющих различные схемы ограничения значений выходных параметров.

Рис. 2. К формированию границ поля допуска при наложенных ограничениях

Y₁ = сx, ограничена с двух сторон Y_1minY₁Y_1max.

Y₂ – монотонно возрастающая функция, ограниченная с двух сторон Y_2minY₂Y_2max.

Y₃ – монотонно убывающая функция, ограниченная с одной стороны Y_3min  Y₂.

Из анализа расположения интервалов полей допусков входного параметра x следует, что эти интервалы перекрывают друг друга и поэтому наложенные ограничения на выходные параметры совместны по параметру x в интервале значений x_2min x  x_1max. Следовательно, имеется некоторая область значений x, принадлежащая всем наложенным ограничениям. Если бы такая область отсутствовала хотя бы для одного выходного параметра, то такие ограничения были бы несовместными и их реализация была бы невозможной.

Интервал 2_ является общим для всех выходных параметров и может быть принят как общее поле допуска входного параметра x, удовлетворяющий всем допускам на выходные параметры Y_k. Этот интервал меньше, чем интервалы допусков всех выходных параметров или равен наименьшему из них при совместности интервалов.

4. Рассмотрим случай, когда несколько выходных параметров Y_k зависят от двух независимых входных параметров x₁ и x₂:

Y_k = F_k(x₁, x₂)

Выходные параметры Y_k представляют собой некоторые поверхности в координатах x₁, x₂ и Y, а ограничения, накладываемые на выходные параметры, – плоскости, параллельные плоскости x₁ 0 x₂. Эти плоскости пересекают поверхности Y_k. Проекции линий пересечения этих плоскостей с поверхностями Y_k на плоскость x₁ 0 x₂ представлены на рис. 3.

Рис.3. Формирование поля совместных значений переменных (входных параметров) для ограничений выходных параметров

На рис. 4 а и б представлены плоскости ортогональных входных параметров x₁ и x₂ для двух функций Y₁ и Y₂, имеющих различные схемы ограничения значений выходных параметров.

а	б

Рис. 4. Соотношение между полями допусков в пределах поля совместных значений входных параметров

Из этих рисунков следует, что границы (интервалы) поля допуска по каждому из входных параметров зависят не только от границ области совместных значений, но и от самих значений интервалов. Разным интервалам параметра x₁ соответствуют разные интервалы параметра x₂, причем площадь общего поля, которое лежит внутри прямоугольника, ограниченного интервалами входных параметров меньше чем область совместных значений этих параметров.

5. На рис. 5 представлено несколько функций Y_k, имеющих различные схемы ограничения значений выходных параметров.

Рис. 5. Формирование границ полей допусков входных параметров при наложенных ограничениях на выходные.

Проекции линий пересечения этих плоскостей с поверхностями Y_k на плоскость x₁ 0 x₂ представлены на рис. 5 с указанием стрелками направления на область совместных значений параметров x₁ и x₂.

Ограничения значений выходных параметров функций Y_k имеют следующие схемы:

Y₁ – плоскость, ограничение с одной стороны Y_1min  Y₁.

Y₂ – монотонно возрастающая функция, ограниченная с двух сторон Y_2min  Y₂  Y_2max.

Y₃ - монотонно убывающая функция, ограниченная с двух сторон Y_3min  Y₂  Y_3max.

Из анализа расположения полей допусков следует, что они перекрывают друг друга и поэтому наложенные ограничения на выходные параметры совместны по параметрам x₁ и x₂. В пределах общего для всех выходных параметров криволинейного многоугольника, ограниченного предельными значениями входных параметров x_1min*, x_1max*, x_2max*, x_2min*, может быть любое сочетание значений входных параметров x₁ и x₂.

Интервалы допусков на входные параметры охватывают прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат x₁ и x₂.

Выбрав произвольное положение на оси x₁, соответствующее наименьшему значению входного параметра x_1min, можно определить предельные значения x_2min x_2max, удовлетворяющие границам криволинейного многоугольника. Им соответствуют свои предельные значения x_1max и x_1max Наименьшее из них и будет граничным наибольшим значением входного параметра x₁.

Если выбрать произвольное положение на оси x₁, соответствующее наибольшему значению входного параметра x_1max, можно определить предельные значения x_2mn x_2max, также удовлетворяющие границам криволинейного многоугольника. Им соответствуют свои предельные значения x_1min и x_1min Наименьшее из них, и будет граничным наименьшим значением входного параметра x₁.

Поле допуска в первом случае лежит внутри прямоугольника со сторонами x_1min, x_1max, и x_2min x_2max, а во втором – внутри прямоугольника со сторонами x_1min, x_1max, и x_2min x_2max. Оба прямоугольника лежат внутри криволинейного прямоугольника совместных для функций выходных параметров Y₁, Y₂ и Y₃. На рис. 5 эти прямоугольники выделены разными пунктирами.

Нетрудно заметить, что интервалы предельных полей допусков входных параметров не являются независимыми. Они зависят от границ области совместных значений входных параметров при наложенных ограничениях на выходные (криволинейный многоугольник), положения границ интервала поля допуска первого из формируемых параметров и от очередности назначения границ входных параметров (сначала верхней, а потом нижней или наоборот).

Комбинация предельных значений не единственная. При совместности полей допусков выходных параметров число таких комбинаций не ограничено, имеет некоторую свободу, что создает предпосылки перераспределения допусков между отдельными входными параметрами.

Решение задачи оптимального назначения допусков можно разделить на два этапа.

На первом этапе определяются границы области совместных значений входных параметров x_imin*, x_imax*, удовлетворяющие всем ограничениям выходных параметров Y_k .

Y₁ = F₁^*(a_1ix_i,  x_i, b₁c_1j)

……………………….….

Y_k = F_k^*(a_kix_i,  x_i, b_kc_1j)

…………..………..…..…

Y_l = F_l^*(a_lix_i,  x_i, b_lc_1j)

Все пространство, заключенное внутри границ области значений входных параметров x_imin*, x_imax* может быть поделено на интервалы параметров, влияющих на работоспособность системы и свободных параметров, не влияющих существенно на работоспособность.

Вначале вводят ограничения на допустимые интервалы значений (допуски) на входные параметры, от которых зависит работоспособность. Ограничения входных параметров, влияющих на работоспособность, могут быть односторонними (x_i < x_imax или x_i > x_imin) и двухсторонними (x_imax >x_i> x_imin).

После назначения этой группы допусков размеры совместной области изменяются. На рис. 6 представлена геометрическая интерпретация решения этой задачи для функций Y₁...Y₃ , зависящих от двух переменных x₁ и x₂ и функции Y₄, зависящей только от одной из переменных. Значения входных параметров x₁ и x₂, заключенные внутри заштрихованной области, удовлетворяют всем ограничениям выходных параметров Y_k.

Рис. 8. Геометрическая интерпретация определения предельных значений практических интервалов рассеяния входных параметров

Далеко не все значения параметров x₁ и x₂, принадлежащие этой области, могут быть реализованы. После введения условия реализуемости x₂ < x_2max, область возможных значений оказывается ограниченной с каждой из сторон предельными значениями входных параметров x_1min*, x_1max*, x_2min*, x_2max*, и функциями Y₂, Y₃ и Y₄.

Если выходными параметрами являются «три кита» люди, время, деньги, то, определяя границы допусков на входные параметры технических систем можно найти такое их сочетание, когда существует некоторая общая область для ограничений этих выходных параметров, которая удовлетворяет всем трем. Это и есть оптимум по трем критериям, о котором производственникам можно только мечтать.

Задача определения границ возможных значений входных параметров формулируется и решается как задача математического программирования.

Решение задачи определения границ совместной области, учитывающей как ограничения выходных параметров, так и допуски на независимые входные параметры, обеспечивающие работоспособность, осуществляется с помощью различных алгоритмов (вписывание гиперкуба или гиперсферы и т. п. в нормированную область ограничений). [Хог Э., Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование. М.: Мир, 1983.]