6.3.2 Модель формирования геометрических параметров сборочной единицы

Пусть систему координат каждой последующей сопрягаемой поверхности (вспомогательной базы) задают в системе координат основной базовой поверхности (основной базы) вектором R₁₀ и матрицей направляющих косинусов А₁₀ (рис. 14, а).

а	б

Рис. 14. Построение детерминированной модели сборки

Построение детерминированной² модели сборки связано с ее представлением системами координат сопрягаемых поверхностей в стыках объекта производства (рис. 14, б). Оно строго и однозначно описывается аппаратом линейной алгебры (см. Приложения 1 и 2). Индекс при R и А означает, что данная система координат (1) задана в предыдущей (0).

Предположим, что каждая последующая сопрягаемая поверхность каждого элемента конструкции (вспомогательная базовая поверхность) задана в предыдущей (основной базовой поверхности) параметрами систем координат отображающих поверхностей (рис. 14):

– радиусом-вектором, R _{i+1, i} определяющим положение начала координат вспомогательной базовой поверхности в системе координат основной базовой поверхности;

– матрицей направляющих косинусов A _{i+1, i} системы координат вспомогательной базовой поверхности в системе координат основной базовой поверхности.

При установке основной базовой поверхности второго элемента на вспомогательную базовую поверхность первого (рис. 14, б), начала систем координат сопрягаемых поверхностей не совпадут из-за погрешностей базирования.

Эти погрешности обусловлены:

– отклонениями формы реальных поверхностей от отображающих, что приводит к отклонению от параллельности отображающих поверхностей сопрягаемых поверхностей;

– радиальным смещением центра основной базовой поверхности последующего элемента конструкции по отношению к центру вспомогательной предыдущего;

– поворотом систем координат сопрягаемых поверхностей.

В результате сборки стыка система координат основной базовой поверхности второго элемента сместится и повернется относительно системы координат вспомогательной базовой поверхности предыдущего элемента. Смещение и поворот последующей системы координат по отношению к предыдущей могут быть определены теми же вектором R _{i+1, i} и матрицей A _{i+1, i} , что и положение системы координат вспомогательной базовой поверхности в системе координат основной базовой поверхности. Вместе со смещением и поворотом основной базовой поверхности второго элемента повернется и его вспомогательная базовая поверхность. В результате вспомогательная базовая поверхность займет новое положение по отношению к основной базовой поверхности первого элемента.

Детерминированную геометрическую модель сборки недеформируемых элементов конструкции по сопрягаемым поверхностям можно представить в виде пространственной цепи систем координат поверхностей стыков элементов конструкции, где каждая последующая система координат задана в предыдущей.

Составляющими звеньями пространственной цепи являются радиусы-векторы положения центров и матрицы направляющих косинусов систем координат сопрягаемых поверхностей и связанных с ними точек и поверхностей, расположение которых необходимо определить после сборки. Замыкающими звеньями этой цепи являются выходные геометрические параметры, являющиеся следствием сборки. Эти параметры характеризуют относительное положение элементов (поверхностей и принадлежащих им характерных точек, линий) объекта производства. К их числу относятся, например, смещение центров контролируемых сечений от базовой оси, погрешность расположения одной из поверхностей одного из элементов конструкции по отношению к системе координат собранного изделия и т. п.

Рассмотрим формирование детерминированной геометрической модели сборки в следующей постановке.

Дано: в исходной выбранной системе координат X₀Y₀Z₀ (рис. 15) заданы k систем координат, каждая из которых задана в последующей.

Рис. 15 . К определению основных соотношений преобразования систем координат в модели сборки

Пусть каждая последующая система координат задана в предыдущей параметрами

R_1,0, A_1,0; R_2,1, A_2,1; …, R_k,k-1, A_k,k-1..

В последней системе координат задана точка M вектором R_mk и вектор а_k.

Требуется найти в выбранной системе координат X₀Y₀Z₀:

– положение начала k-той системы координат;

– матрицу направляющих косинусов k-той системы координат;

– координаты точки М;

– направляющие косинусы вектора а.

Воспользуемся методом математической индукции.

Положим k=3. Искомые параметры определим последовательным переходом от 3-ей системы координат к выбранной X₀Y₀Z₀

Матрица направляющих косинусов 3-ей системы координат в выбранной системе координат X₀Y₀Z₀:

A_3,2 = A_3,2

A_3,1 = A_2,1 A_3,2

A_3,0 = A_1,0A_2,1 A_3,2.

Положение начала 3-ей системы координат в выбранной системе координат X₀Y₀Z₀:

R_3,2 = R_3,2

R_3,1= R_2,1+A_2,1R_3,2

R_3,0= R_1,0 + A_1,0 R_2,1+ A_1,0A_2,1R_3,2

Положение точки М в выбранной системе координат X₀Y₀Z₀:

R_m2 = R_3,2+A_3,2R_m3,

R_m1 = R_2,1 +A_2,1R_m2 = R_2,1+ A_2,1R_3,2+A_2,1 A_3,2R_m3 ,

R_m0 = R_1,0 +A_1,0R_m1 = R_1,0 + A_1,0 R_2,1+ A_1,0A_2,1R_3,2+A_1,0A_2,1 A_3,2R_m3.

Обобщая полученный результат на k звеньев, получим

A_k,0 =  A_i,i-1 (2)

R_k,0 =  R_k,i-1 (3)

Если в k-той системе координат задана точка M вектором R_mk, то ее координаты в выбранной системе координат будут

R_m0= A_k,0R_mk+ R_k,0 (4)

Если в k-той системе координат задано направление единичного вектора a_k, то этому направлению в выбранной системе координат соответствует единичный вектор a₀

a₀ = A_k0 a_k (5)

В рассмотренной модели сборки предполагалось, что выбранной системой координат была система координат первой поверхности – поверхности ОБП первого элемента конструкции. Выбор в качестве выбранной системой координат является частным случаем. Такой выбор неудобен тем, что порядковый номер поверхности не совпадает с номером системы координат. Более общим случаем является перенос ОБП первого элемента в точку с координатами R_1,0, и матрицей направляющих косинусов A_1,0.

Собственные системы координат элементов конструкции могут быть заданы как по схеме СК ОБП так и по схеме СК БО. Для построения детерминированной модели сборки необходимо, чтобы каждая система координат сопрягаемых поверхностей каждого элемента была построена по схеме задания системы координат последующей сопрягаемой поверхности в системе координат предыдущей, то есть преобразована из СК БО в СК ОБП.

Рассмотрим переход из СК БО в СК ОБП и обратно (рис. 16).

Рис. 16. К пересчету систем базирования

Пусть в выбранной системе координат X₀, Y₀, Z₀ определены положения реперных знаков контролируемых сечений радиусами-векторами R_Iобп и R_Iвбп, центров отображающих поверхностей R_oбп и R_вбп, а также направления нормалей к отображающим поверхностям n_обп и n_вбп. Построим проекции реперных знаков на отображающие плоскости стыков и определим их координаты в выбранной системе координат X₀, Y₀, Z₀ радиусами-векторами R_Iобп и R_Iвбп. На центрах О_обп и О_вбп отображающих поверхностей, проекциях реперных знаков R _Iобп и R_Iвбп, направлениях нормалей к отображающим поверхностям n_обп и n_вбп. построим системы координат СК ОБП и СК ВБП.

После преобразований исходных данных получим необходимые компоненты матриц А_обп, А_вбп и А_бо направляющих косинусов систем координат торцов и боковой цилиндрической поверхности.

Параметры системы координат X_бо, Y_бо, Z_бо в системе координат X₁, Y₁, Z₁ – матрицей направляющих косинусов A_{бо, обп} и вектором R_{бо, обп} = 0

A _{бо, обп} = A^Т_обп  A_бо,

а параметры системы координат X_обп, Y_обп, Z_обп в системе координат X_бо, Y_бо, Z_бо будут определяться матрицей направляющих косинусов A_{обп,бо бо} = A^Т_бо  A_обп и вектором R_обп,бо = 0

На этом завершается построение детерминированной геометрической модели сборки недеформируемых элементов конструкции по измеренным координатам точек реальных поверхностей соединяемых элементов, позволяющей определить геометрию внешних статических сил, действующих на объект производства.

В этой модели геометрической сборки входными параметрами (исходными данными) являются форма и измеренные координаты точек реальных поверхностей. Все остальные параметры (размеры, расположение в системе координат элемента, отклонение формы реальной поверхности от отображающей) – вычисляемые выходные параметры.