2.Основна задача електростатики провідників і доказ того, що вона має тільки один розв’язок

Билет 7

Електростатичний потенціал

У електростатиці електростатичний потенціал визначається згідно із співвідношенням ,

Електростатичний потенціал визначений із точністю до довільної сталої. На практиці найчастіше за початок відліку служать потенціал заряду на нескінченості, або потенціал землі.

В системі одиниць СІ і на практиці вимірюється у вольтах.

Потенціал навколо точкового заряду

Точковий заряд q створює в точці спостереження електричне поле з напруженістю

Згідно з означенням електростатичного потенціалу

.

В середовищі потенціал зменшується в е разів, е де - діелектрична стала.

Властивості

Електростатичний потенціал має властивість адитивності: потенціал системи зарядів дорівнює сумі потенціалів, створених кожним із них.

.

У випадку неперервного розподілу зарядів у просторі

.де ρ - густина заряду.

Часто для визначення електростатичного потенціалу зручно розв'язувати диференційне рівняння, якому він задовільняє - рівняння Пуассона

.

Електростатичний потенціал системи заряджених провідників

На поверхні провідника електростатичний потенціал сталий, незалежно від форми провідника. Сталість потенціалу досягається перерозподілом зарядів. В такому випадку задачею електростатики є знаходження розподілу зарядів і водночас електростатичного потенціалу в просторі між цими зарядами, де потенціал задовільняє рівнянню Лапласа

.

Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля

Для установления связи между силовой характеристикой электрического поля - напряжённостью и его энергетической характеристикой - потенциалом рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q: dA = q E dl, эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q: dA = - dWп = - q d, где d - изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl. Приравнивая правые части выражений, получаем: E dl = -d или в декартовой системе координат

где Ex, Ey, Ez - проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение (1.8) представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем

Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала j, т. е.

E = - grad = -Ñ.

Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала.