Билет 3

1.Уравнение непрерывности и его связь с законом сохранения заряда.

Уравнение непрерывности

Источники полей ( ) не могут быть заданы произвольным образом. Применяя операцию дивергенции к четвёртому уравнению (закон Ампера—Максвелла) и используя первое уравнение (закон Гаусса), можно получить уравнение непрерывности для зарядов и токов:

Вывод уравнения непрерывности

Дивергенция от ротора равна нулю, поэтому для четвёртого уравнения Максвелла (Закон Ампера—Максвелла) в системе СИ имеем:

где в последнем равенстве подставлено первое уравнение (Закон Гаусса).

Это уравнение при помощи интегральной теоремы Остроградского—Гаусса можно записать в следующем виде:

В левой части уравнения находится полный ток, протекающий через замкнутую поверхность . В правой части — изменение со временем заряда, находящегося внутри объёма . Таким образом, изменение заряда внутри объёма возможно только при его притоке или оттоке через поверхность , ограничивающую объём.

Уравнение непрерывности, эквивалентное закону сохранения заряда, далеко выходит за пределы классической электродинамики, оставаясь справедливым и в квантовой теории. Поэтому это уравнение само по себе может быть положено в основу электромагнитной теории. Тогда, например, ток смещения (производная по времени электрического поля) должен обязательно присутствовать в законе Ампера.

Из уравнений Максвелла для роторов и уравнения непрерывности с точностью до произвольных функций, не зависящих от времени, следуют законы Гаусса для электрического и магнитного полей.

2. Доказательство единства решения основной задачи электромагнетизма.

Очень часто приходиться встречаться с задачами, в которых распределение зарядов не известно, но заданы потенциалы проводников, их форма и относительное расположение. Требуется определить потенциал в любой точке поля между проводниками.

Найдем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция - потенциал. Для этого подставим в левую часть уравнения теоремы Гаусса вместо Е его выражение через , т.е. В результате получим общее дифференциальное уравнение для потенциала – уравнение Пуассона: (1) ,где - оператор Лапласа (лапласиан). В декартовых координатах он имеет вид: , т.е. собой скалярное произведение . Если между проводниками нет зарядов , то уравнение переходит в более простое – уравнение Лапласа: (2).Определение потенциала сводиться к нахождению такой функции , которая во всем пространстве между проводниками удовлетворяет уравнениям (1) или (2), а на поверхностях самих проводников принимает заданные значения и т.д. В теории доказывается, что эта задача имеет единственное решение. Это утверждение называют теоремой единственности. С физической точки зрения этот вывод довольно очевиден: если решение не одно, то будет не один потенциальный «рельеф», следовательно, в каждой точке поле Е неоднозначно – мы пришли к физическому абсурду.