11

Двумерное вращение твердого тела

Рассмотрим движение несуществующего идеального объекта - твердого тела. В таком объекте связи между атомами так сильны, что те небольшие силы, которые необходимы, чтобы привести его в движение, не могут деформировать тело. Форма его все время остается одной и той же. Если не принимать во внимание движение его центра масс, то движение этого тела сводится к вращению. Предположим, что в теле существует какая-то воображаемая неподвижная линия. Вокруг этой линии, как вокруг оси, вращается тело. Если отметить какую-то точку на теле, где угодно, только не на оси, то она будет двигаться вокруг оси по окружности. Единственное, что нужно знать для описания положения точки, - это угол, на который повернулся радиус, проведенный в данную точку. Очевидно, этот угол задает положение всего тела. Таким образом, изучение вращения заключается в изучении изменения угла со временем.

Рассмотрим вначале наиболее простой случай вращательного движения, когда твердое тело крутится вокруг неподвижной оси, причем каждая точка этого тела движется в плоскости, перпендикулярной этой оси. Такое вращение тела вокруг неподвижной оси называется плоским, или двумерным. Без достаточного опыта в двух измерениях понять трехмерные вращения очень трудно.

Вспомним кинематику вращения.

Возьмем частицу на расстоянии r от оси и предположим, что в данный момент времени она находится в положении Р(х,у) (рисунок). Через промежуток времени t тело целиком повернется на угол , а вместе с ним повернется и частица. Расстояние от нее до оси вращения при этом не изменится. Она займет положение Q. РQ = r (по определению угла в радианах). При этом изменение координат частицы составит:

Соответственно, компоненты скорости частицы равны:

v_x = y; v_y = x

Абсолютная величина скорости , что очевидно из того, что РQ = r.

Момент силы

Перейдем к динамике вращения.

Желательно изобрести аналог силы - момент силы. Это причина, которая заставляет тело вращаться. Для того, чтобы выразить момент силы количественно, можно приравнять работу, которая производится при повороте тела на какой-то угол, к произведению момента силы на этот угол.

Пусть сила F приложена к точке (x, y).

А = F_xx + F_yy

Учитывая, что x = y; y = x

А = (xF_y - yF_x) 

Моментом силы N является «странная» комбинация сил и расстояний

N = xF_y - yF_x.

Если на тело действует несколько сил, то моменты их складываются при определении работы: N_i = x_iF_yi - y_iF_xi;

Для того, чтобы тело не вращалось нужно, чтобы суммарный момент N = 0 относительно какой-то одной произвольной оси (двумерный случай).

Выясним геометрический смысл комбинации сил и расстояний, составляющих момент. Работу при вращении производит тангенциальная (перпендикулярная радиусу) составляющая F_ силы (рисунок).

Выражаем работу через произведение силы на перемещение:

А = F_ r  . Можно выразить работу и так: А = F r sin = F r₀ , где  - угол между направлением действия силы и радиусом, проведенным в точку ее приложения. Величина r₀ = r sin называется плечом силы F. Плечо силы - это расстояние между линией действия силы и осью вращения (рисунок).

Таким образом, сила оказывает на вращающееся тело тем большее действие, чем дальше от оси вращения расположена точка ее приложения.