Вращение в пространстве
Распространим математическое описание вращения, понятие момента количества движения, момента силы и т.д. на трехмерное пространство.
xFy - yFx так и остается моментом силы относительно оси z (плоскость вращения ху) и он равен скорости изменения момента импульса (xpy - ypx) относительно оси z:
ось z
Аналогично можно получить для оси х (плоскость вращения yz):
ось х
Для оси у (плоскость вращения zx):
ось у
Таким образом, имеются законы о том, что внешний момент сил в некоторой плоскости равен скорости изменения углового момента в этой плоскости.
А если повернуть оси, например, в плоскости х, у. Новые координаты назовем х/, у/. Новый момент сил в этой плоскости . Найдем связь между новыми и старыми моментами. Это похоже на манипуляции с векторами. - Да. А не вектор ли момент сил? - Да. Докажем это.
Пусть ось z останется той же. Поворачиваем х и у на угол . Законы преобразования координат мы рассматривали раньше:
Поскольку сила является вектором, закон преобразования ее компонент такой же:
Подставляем уравнения преобразования координат и силы в выражения для моментов силы (промежуточные преобразования опускаем):
Можно увидеть связь между законами преобразования моментов силы и законами преобразования координат. Если назвать Nxy z-компонентой Nz вектора N, аналогично, если связать плоскость yz с х-компонентой новоиспеченного вектора N, а плоскость zx с у-компонентой, то закон преобразования будет выглядеть так:
что в точности соответствует закону преобразования векторов.
Следовательно, доказано, что комбинацию xFy - yFx можно отождествить с тем, что обычно называется z-компонентой некоторого искусственно введенного вектора. Хотя момент сил является своего рода «кручением» в плоскости и, казалось бы, не имеет векторного характера, математически он все-таки ведет себя как вектор. Этот вектор направлен под прямым углом к плоскости кручения, а его длина пропорциональна силе кручения. Три компоненты такой величины будут преобразовываться при вращении системы координат как самый настоящий вектор.
Итак, мы представляем момент силы в виде вектора. Согласно правилу, с каждой плоскостью, в которой он действует, мы связываем прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Однако перпендикулярность к плоскости оставляет неопределенный знак вектора. Чтобы определить его, необходимо еще одно дополнительное правило, которое говорило бы нам, что если момент силы действует определенным образом в плоскости ху, то соответствующий ему вектор направлен «вверх» по оси z. Предположим, что система координат хуz правосторонняя (если вращать ось х по направлению к оси у, то направление, связанного с таким вращением, поступательного движения винта с правовинтовой резьбой, укажет положительное направление оси z). Тогда правило должно быть таким: если представить себе кручение, как ввертывание болта с правовинтовой резьбой, то направление вектора, связанного с этим кручением, определяется поступательным движением болта.
Векторное произведение
В предыдущих рассуждениях совершенно несущественно, что х - координата, F -сила, а существенным является закон преобразования векторов. Значит, например, (axby - aybx) можно связать с z-компонентой какого-то вектора с и т.д. Можно придумать для такой связи название и обозначение:
векторное произведение с = аb = [a, b],
что расшифровывается:
cx = aybz - azby
cy = azbx - axbz
cz = axby - aybx
Свойства векторного произведения
аb = ba
Отсюда:
аа = 0
Результатом векторного произведения есть вектор, который перпендикулярен обоим перемножаемым векторам: са, сb. Доказательством является равенство нулю скалярных произведений са и сb (скалярные произведения можно расписать как сумму произведений одноименных проекций векторов).
Модуль векторного произведения равен произведению модулей векторов на синус угла между ними: аb = а b sin. Это правило легко доказывается путем вычисления результата векторного произведения через проекции векторов для простейшего частного случая: вектор а смотрит из начала координат в направлении оси х (аy и az = 0; ax = a), вектор b - расположен в плоскости ху (bz = 0). Поскольку результат векторного произведения не зависит от выбора системы координат (это свойство любого вектора, для этого они и придуманы), правило можно распространить на произвольную систему координат.
Способ определения направления вектора, являющегося результатом векторного произведения: если вращать вектор а (первый из перемножаемых векторов) по направлению к вектору b (второй из перемножаемых векторов), то вектор c = аb будет направлен в сторону поступательного движения, связанного с этим вращением, винта с правой резьбой. Это простая договоренность. Получается, что результатом векторного произведения является не совсем «честный» вектор. Такие вектора называются аксиальными, или псевдовекторами, в отличие от обычных полярных векторов. Аксиальные вектора хорошо передают свойства вращения.
Приводим без доказательства сводку правил векторной алгебры:
AB=Скаляр=AxBx+AyBy+AzBz,
AB=Вектор,
(AB)z=AxByAyBx,
(AB)x=AyBzAzBy,
(AB)y=AzBxAxBz,
AA=0,
A(AB)=0,
A(BC)=(AB)C,
A(BC)=B(AC)C(AB)