Случайные явления

1. Как различаются детерминированные и случайные явления?

Детерминированные – результаты многократних эксперементов в случайных условиях всегда совпадают. Случайные – результаты различимы.

2. Привести примеры детерминированных и случайных явлений.

Случайные – подбрасывание монетки, бросание игральных костей. Детерминированные – волны на море.

3. Что такое массовые случайные явления?

Явления, эксперимент с которыми можно провести неограниченное количество раз в неизменных условиях. Эксперимент либо физический, либо мысленный

4. Привести примеры массовых случайных явлений.

Бросать монетку, кидать игральные кости, играть в рулетку

5. Как определяется частота исхода?

P‒ = N(A) / (N) , где N(A) – число появления события A в N испытаниях.

6. Почему частота исхода является случайной величиной?

P‒ = N(A) / (N) , где N(A) – число появления события A в N испытаниях. Из-за того, что в формуле сверху стоит случайное событие

7. Сформулировать свойства устойчивости частот.

Является общим свойством массовых случайных событий, а именно – всегда существует такое число, к котрому приближаеться частота появления данного события, мало отличаясь от него при большом числе испытаний.

8. Что такое урновая схема? Привести примеры.

Урновая схема это алгоритм решения комбинаторных задач, сводящихся к нахождению числа способов извлечения шаров из урны.

Пример: сколькими способами из урны можно достать 2 бел и 3 чорн шара?

9. Чему равно количество выборок в урновой схеме без возвращения?

Упорядоченная выборка: A_N^M= N! / (N-M)! Неупорядоченная выборка: C_N^M= N! / M! (N-M)!

N – количество предметов в урне, M – количество предметов в выборке

10. Чему равно количество выборок в урновой схеме с возвращением?

Упорядоченная выборка: N^M Неупорядоченная: С_M+N-1^M= (M+N-1)! / M! ((M+N-1)-M)!

11. Какие задачи решает теория вероятностей?

Теория вероятностей занимается разработкой математических моделей случайных явлений.

12. Какие задачи решает математическая статистика?

Математическая статистика изучает методы обработки результатов случайных явлений. По известным экспериментальным данным позволяет выбрать математический модуль случайного явления.

Случайные события

1. Как определяется пространство элементарных событий?

Пространство эл соб – это множество всех теоретически возможных исходов случайного эксперимента.

2. Какими бывают пространства элементарных событий?

Пространства элементарных событий бывают конечными, счетными и несчетными.

3. Привести примеры конечных пространств элементарных событий.

Состоит из элементов, которые можно пересчитать и их число не превышает некоего N.

Выборка из мешка с N шарами

4. Привести примеры счетных пространств элементарных событий.

Элементы можно занумеровать и пересчитать, это множество бесконечно по числу элементов.

Отрезок с точками на нем

5. Привести примеры несчетных пространств элементарных событий.

Нельзя занумеровать, нельзя пересчитать, это множество бесконечно по числу элементов.

Прямая с точками

6. Как определяется достоверное событие?

Событие назыв достоверным, если в даном эксперименте оно обязательно должно произойти

7. Как определяется невозможное событие?

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в даном эксперименте.

8. Какие события называются связанными?

Связанными называются, если появление события A влечет за собой появление события B.

9. Какие события называются равносильными?

При одновременном выполнении события A и B они являются равносильными

10. Как определяется произведение событий?

Некоторое событие C, которое содержит элементарные события входящие в события A и B одновременно.

11. Какие события называются несовместными?

Событие A и B несовместное, если их одновременное появление невозможно. При этом события A и события B не имеют общих элементарных событий.

12. Как определяется сумма событий?

Обьединением или сумой событий A и B называется некоторое событие С, содержащее элементарные события, входящие в A или в B, или в A и B.

13. Как определяется разность событий?

Разностью событий A и B называется событие С, которое содержит элементарное событие, входящее в A за исключением элементарных событий, входящих в B.

14. Как определяется противоположное событие?

Событие Ā называется противоположным событию A, если оно происходит всегда, когда не происходит событие A.

15. Что называется полной группой событий?

Полной группой событий называется любое множество попарно-несовместных событий в совокупности образующих пространство элементарных событий.

Вероятностное пространство

1. Дать определение алгебры событий.

Алгеброй событий F называется система из Ω, которая удовл. трем условиям: 1) Ω < F 2) A < F => Ā € F

3) AB € F=> A υ B < F 4) Ø € F 5) AB € F 6) A-B € F

система подмножеств, замкнутая относительно операцый над событиями. нужна для того чтобы быть уверенным, что действия над событиями приводит таки к событиям. Если число событий конечно, то дост огр условиями 1-3, если же число событий хотя бы счетно, то эти условия не обходимо уточнить.

2. Дать определение случайного события.

подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

3. Что такое тривиальная алгебра?

тривиальная алгебра F = { Ω ;Ø }

4. Описать алгебру, порожденную событием.

Алгебра, порожденная событием A F = {A; Ā ;Ω ;Ø }

5. Что такое измеримое пространство?

это пространство Ω вместе с выделенной алгеброй или сигма-алгеброй его подмножеств.

6. Сформулировать аксиомы А.Н.Колмогорова.

{ Ω ;F}

1) P(A)>=0 – аксиома неотрицания 2) P(Ω)=1 – аксиома нормированности 3) P(A υ B) = P(A) + P(B); AB= Ø – аксиома адитивности 4) P(A1 υ A2 υ …) = ∑ _{снизу i=1}^{сверху ∞} P(Ai) – аксиома счетной адитивности

7. В чем смысл непротиворечивости и неполноты аксиом А.Н.Колмогорова?

непротиворечивость – существуют реальніе обьекты,удовлетворяющие аксиомам. неповнота – одному и тому же событию когут соответствовать разумные вероятности.

8. Что такое вероятностное пространство?

это совокупность обьектов { Ω ;F;P} – вероятн пространство. полностью описывает случайные экспер, тесть является его математической моделью.

9. Перечислить основные свойства вероятности.

Пусть задано пространство элементарных событий  Е  , а вероятности  Р  определены на событиях из  Е . Тогда: 1) P(Ø)=0 P(A)=0 => A= Ø 2) P(Ā)=1-P(A) 3) A € B P(A)<=P(B) 4)0<=P(A)<=1

5) P(A υ B)=P(A)+P(B)-P(AB)

10. Как определяется классическая вероятность?

P(A)=n(A) / n, где n(A) – число исходов благоприятных для A, n – общее число исходов

11. Когда можно использовать формулу классической вероятности?

Эта ф-ла определяет вероятность в частном случаи. Данную ф-лу можно использовать для равновероятных исходов.

12. Дать определение геометрической вероятности.

частичный случай нахождения вероятности, когда ПЭС несчетное, а исход равновозможен

13. Сформулировать условия применимости геометрической вероятности.

Вероятность попадания на отрезок шириной дельта х не зависит от местоположения интервала на отрезке,а зависит только от длины отрезка.

14. Чему равна вероятность невозможного события? Доказать.

Равна 0. Невозможное событие не может произойти

15. Чему равна вероятность противоположного события? Доказать.

Ā = Ω - A

16. Чему равна вероятность суммы событий? Доказать.

- несовместные события

- совместные события

17. Является ли невозможным событие, вероятность которого равна нулю? Обосновать ответ.

нет, не является. то,что это событие не происходит в данной ситуации еще не отрицает его невозможность.

18. Как определить вероятность события для конечного пространства элементарных событий?

, где  , и   - число элементарных исходов, принадлежащих A.

В частности, вероятность любого элементарного события: