7. Случайный вектор

1. Дать определение многомерной случайной величины.

Многомерной случ величиной называют набор случ величин Ен=Ен(омеги) заданных на одном вероятностном пространстве

2. Дать определение функции распределения случайного вектора.

ФР случайного вектора называют правило по которому любому значению случайного вектора ставится в соответствие вероятность.

3. Перечислить основные свойства многомерной функции распределения.

Такие же как и у обычной ФР только для многих параметров

1)Функция неубывающая

2) непрерывна слева для всех х

3) Ф(х)=0 если хотя бы 1 х стремится к –инф

Ф(х)=1 если все х стремятся к +инф

4)Единицы измерения в единицах, возможно безразмерная ( нужно уточнить)

5)Частное распределение

4. Дать определение частного распределения.

Частным распределением называют любое распределение подмножества СВ из задного случайного вектора на заданном вероятностном пространстве.

5. Как найти частное распределение с помощью многомерной функции распределения?

1)Если имеем двух мерную ФР, то стоит положить что одно значение из СВ стремится к бесконечности, тогда мы получим ФР для оставшегося значения случайного вектора.

2)Если у нас многомерная то принимаем 1 или несколько значений стремлящихся к бесконечности и получаем ФР для оставшихся значений ФР.

3)Все записываем через лимит.

6. Перечислить основные виды случайных векторов.

1)дискретный.

2)непрерывный

3)смешанный

7. Что такое матрица распределений? Какие у нее свойства?

Матрицей распределения называют один из видов закона распределения для двухмерной функции распределения.

Свойства:

1)Сума всех вероятностей равна 1.

2)если своими словами то сума вероятностей по столбцу или строке равна вероятности для данного значения случайной величины

8. Как получить частные распределения для двумерного дискретного случайного вектора?

Воспользоваться свойством матрицы распределения (2). Найти суму вероятностей для значений одного случайного вектора. Суммируем столбец или строку и получаем вероятность для значения этой строки или столбца. Аналогично и для 2 значения.

9. Как определяется плотность вероятностей многомерных непрерывных случайных величин?

Плотность вероятности это производная от ФР. Берем просто частичные производные по каждому х1,х2,х3,…,xn.

10. Перечислить основные свойства плотности вероятностей случайного вектора.

1) P(x1,x2…xn)>=0 – неотрицательность

2) F(x1,x2…xn)=

3) – нормировка

4)

5)

6)[p(x1,x2…xn)]=

11. Как получить частные распределения для непрерывных случайных величин?

12. Дать определение условного закона распределения.

Условным законом распределения СВ кси1 называется распределение величины кси1 при условии того, что СВ кси2 приняла конкретное значение или находится на некотором промежутке

Закон описывается следующим выражением:

F(x1|x2)=F(x1x2)/F(x2)

Это правило за которым любому значению СВ Е1 ставится в соотвествие значение

13. Как определяется условное распределение для дискретных случайных величин?

Для дискретного вектора:

14. Как определяется условное распределение для непрерывных случайных величин?

15. Дать общее определение независимых случайных величин.

Если для СВ выполняется условие F(x1,x2,x3,…,xn)=F(x1)F(x2)F(x3)…F(xn), то такие величины независимые.

16. Сформулировать условие независимости дискретных случайных величин.

Если услов ФР = безусловным, то такие СВ называются независимыми.

Для дискретного вектора:

17. Сформулировать условие независимости непрерывных случайных величин.

Для непрерывных случайных величин условие независимости  от  может быть записано в виде:

при любом .

Напротив, в случае, если  зависит от , то

.

Докажем, что зависимость или независимость случайных величин всегда взаимны: если величина  не зависит от .

Действительно, пусть  не зависит от :

.                                                           

Из формул имеем:

,

откуда получим:

что и требовалось доказать.