2 .3. Вероятность попадания случайной величины

на заданный участок.

При решении практических задач, связанных со с.в., часто оказывается необходимым вычислять вероятность того, что с.в. примет значение, заключенное в некоторых пределах, например, от до . Это событие мы будем называть попаданием с.в. на участок от до . Условимся для определенности левый конец включать в участок ( , ), а правый не включать. Тогда попадание с.в. Х на участок ( , ) равносильно выполнению неравенства

Х < .

Выразим вероятность этого события через функцию распределения

величины Х. Для этого рассмотрим 3 события:

событие А, состоящее в том, что Х< ;

событие B, состоящее в том, что X< ;

событие C, состоящее в том, что X < .

У читывая, что А = В + С, по теореме сложения вероятностей имеем

Р ( Х < ) = P ( X< ) + P ( ); или

F ( ) = F ( ) + P ( X < ); откуда

P ( X < ) = F ( ) – F ( ),

т.е. вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке.

Следствие из этого вывода: вероятность любого отдельного значения н.с.в. равна нулю, т.е. при Р( Х ) = 0.

2.4. Плотность распределения

Пусть имеется непрерывная величина Х с функцией распределения F (x), которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от х до х + х:

P (x < X < x + x <) = F (x + x) – F (x),

т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке и будем приближать x к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

lim F (x + x) – F (x)/ x = F^/ (x) = f (x)

x 0

Функция f (x) - производная функции распределения - характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе "плотностью вероятности") непрерывной случайной величины X. Иногда функцию f (x) называют также дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения величины X. Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения. Плотность распределения, также как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной, она существует только для н.с.в.

f(x)

Х

Рассмотрим непрерывную случайную величину с плотностью распределения и элементарный участок dx, примыкающий к точке x. Вероятность попадания случайной величины X на этот участок равна f(x)d(x). Величина f(x)dx называется элементом вероятности. Геометрически это есть площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx ( Рис. 1).

f (x) f (x)

f(x)

X X

Рис.1 Рис.2

Выразим вероятность попадания величины Х на отрезок от до ( Рис. 2) через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т.е. интегралу:

Р( < X < ) = f(x)dx

Геометрически вероятность попадания величины X на участок ( , ) равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок. Если выразить функцию распределения через плотность, то:

F (x) = P (- < X < x ) = f(x)dx.

Геометрически F(x) есть площадь кривой распределения, лежащая левее точки x.

f(x)

х Х

Укажем основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция: f(x) 0. Это свойство вытекает непосредственно из того, что функция распределения есть неубывающая функция.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице: f(x)dx =1, так как F( ) = 1.

Геометрически это означает, что площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Пример. Случайная величина Х распределена по закону "прямоугольного треугольника" в интервале (0,а). Необходимо:

а) написать выражение плотности распределения;

б) найти функцию распределения F(x);

в) найти вероятность попадания случайной величины X на участке от a/2 до a.

Решение. Используем свойства линейной функции у = кх + в: к = -2/аа (площадь треугольника S = а/2, у = 2/а) ; к= -2/а² ;

f(x) = 2/a (1-x/a)

f(x)

0 при x < 0;

f (x) = 2/a (1-x/a) при 0 x a;

0 при x > 0.

X

a

F(x) = 2/a (1-x/a)dx = 2/a x- x²/a² = x/a (2-x/a) ;

0 при х < 0 ;

F(x) = x/a (2-x/a) при 0 < x < a ;

1 при х > a ;

F(a) – F( a/2) =1 – 3/4 = 1/4.