- •Лекция 1. Общие сведения по теории вероятностей.
- •Условные и безусловные вероятности.
- •1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Понятие случайного события.
- •1) Вероятность достоверного события равна 1;
- •2) Вероятность невозможного события равна 0;
- •Вероятность случайного события заключена
- •1.2. Алгебра событий.
- •1.3. Зависимые и независимые события.
- •1.4. Основные формулы теории вероятностей.
- •1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •1.6. Частная теорема о повторении опытов.
- •2.1. Случайные величины и их законы распределения.
- •2.2. Функция распределения.
- •2 .3. Вероятность попадания случайной величины
- •2.4. Плотность распределения
- •2.5. Числовые характеристики случайной величины
- •2.6 Понятие о моментах случайной величины.
- •2.7. Основные свойства математического ожидания
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии случайной величины:
- •Лекция 3. Основные законы распределения
- •3.1. Гипергеометрическое распределение
- •3.5. Закон равной вероятности
- •3.7. Закон распределения модуля разности
- •3.8. Композиция законов распределения
- •3.1.Гипергеометрическое распределение.
- •3.5. Закон равной вероятности.
- •3.7. Закон распределения модуля разности.
- •Статистики
- •4.1. Основные задачи математической статистики
- •4.2. Основные понятия и определения. Выборочного метода
- •4.3. Выборочные характеристики. Состоятельные,
- •Свойства выборочных средних и дисперсий.
- •Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •Задача определения закона распределения случайной величины.
- •2. Задача проверки правдоподобия гипотез.
- •3.Задача нахождения неизвестных параметров распределения.
- •4.2. Основные понятия и определения. Выборочного метода.
- •Генеральная совокупность и выборка из нее.
- •4.3. Выборочные характеристики. Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки характеристики.
- •4.5. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •5.1. Определение характеристик эмпирического
- •5.2. Сопоставление и проверка сходимости
- •Координаты характерных точек кривой
- •5.3. Сопоставление эмпирического распределения
- •5.4. Статистическая проверка гипотез.
- •5.5. Проверка гипотезы о законе распределения случайной
- •Критерий
- •Критерий 2
- •5.6. Проверка гипотезы равенства двух выборочных средних
- •5.7. Проверка гипотезы равенства двух выборочных
- •5.8. Проверка гипотезы равенства ряда дисперсий .
- •Критерий Бартлета.
- •Критерий Кохрана.
- •5.9. Проверка гипотезы равенства ряда средних.
- •5.10. Метод исключения грубых ошибок измерения
- •5.11. Выбор числа наблюдений
- •6.1.Закон больших чисел и центральная
- •6.2. Неравенство Чебышева.
- •Неравенство Чебышева.
- •6.3. Закон больших чисел (теорема Чебышева).
- •6.4 Теорема Бернулли.
- •7.2. Коэффициент корреляции и корреляционное отношение.
- •7.3. Корреляционный анализ
- •7.4 Выбор уравнения регрессии
- •7.5. Понятие о множественной корреляции
- •Лекция 8. Основы планирования
- •8.6.1. Метод крутого восхождения.
- •8.1. Основные определения.
- •«Черный ящик »
- •8.3. Полный факторный эксперимент.
- •8.3.1 Выбор интервалов варьирования факторов
- •8.3.2 Полный факторный эксперимент типа 2
- •Построение матрицы 2
- •8.3.3. Свойства полного факторного эксперимента типа 2 к
- •8.3.4. Полный факторный эксперимент
- •8.3.5 Анализ модели.
- •8.3.5.1. Проверка значимости коэффициентов модели.
- •Расчет дисперсии опытов и оценка их однородности
- •Расчет дисперсий параметра оптимизации и коэффициентов регрессии
- •Проверка значимости коэффициентов регрессии
- •8.3.5.2. Проверка адекватности модели
- •8.4. Дробный факторный эксперимент.
- •8.4.1.Минимизация числа опытов.
- •Дробная реплика
- •8.4.3. Выбор полуреплик. Генерирующие соотношения и определяющие контрасты
- •8.4.4.Выбор 1/4-реплик. Обобщающий
- •8.6. Оптимизация функции отклика.
- •8.6.1. Метод крутого восхождения.
- •6.6.2. Методика расчета крутого восхождения
- •6.7. Принятие решений после построения модели процесса
- •8.5 Рандомизация опытов.
- •8.6 Оптимизация функции отклика
- •8.6.1. Метод крутого восхождения. Движение по градиенту
- •8.6.2. Методика расчета крутого восхождения
- •8.7.Принятие решений после построения
- •9.1. Статистический анализ точности обработки.
- •9.3. Статистический анализ посредством малых выборок.
- •9.4. Статистический анализ с помощью точечных
- •9.4.1. Карта средних значений (карта « »)
- •9.4.2. Карта медиан (карта )
- •9.4.3. Карты « »
- •9.4.4. Метод средних арифметических значений и
- •9.4.4. Контрольные карты по неизмеримым
- •Карта «р»
- •Карта «с».
8.4.4.Выбор 1/4-реплик. Обобщающий
определяющий контраст
При исследовании влияния пяти факторов можно поставить не 16 опытов, а только 8, т.е. воспользоваться репликой 25-2. Возможны 12 решений, если х4 приравнять к парному взаимодействию, а х5-к тройному:
х4=х1х2, х5=х1х2х3;
х4=х1х2, х5=-х1х2х3;
х4=-х1х2, х5=х1х2х3;
х4=-х1х2, х5=-х1х2х3;
х4=х1х3, х5=х1х2х3;
х4=х1х3, х5=-х1х2х3;
х4=-х1х3, х5=х1х2х3;
х4=-х1х3, х5=-х1х2х3;
х4=х2х3, х5=х1х2х3;
х4=х2х3, х5=-х1х2х3;
х4=-х2х3, х5=х1х2х3;
х4=-х2х3, х5=-х1х2х3.
Допустим, что выбран пятый вариант; х4=х1х3, х5=х1х2х3х4 . Тогда определяющими контрастами являются 1=х1х3х4 и 1=х1х2х3х5 .Если перемножить эти определяющие контрасты ,то получится третье соотношение задающее элементы столбца 1=х2х4х5. Чтобы полностью охарактеризовать разрешающую способность реплики, необходимо записать обобщающий определяющий контраст:
1=х1х3х4=х2х4х5=х2х1х3х5
Система смешивания определяется умножением обобщающего определяющего контраста последовательно на х1,х2,х3 и т.д., например,
x1 = x3x4 = x1 x2 x4 x5 = x1 x2 x4 x5
x1 x2 = x2 x3 x4 =x1 x4 x5 = x3 x5
Получается довольно сложная система смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия первого, второго, третьего и четвертого порядков. Так , коэффициент регрессии b1 будет оценкой следующих эффектов:
b1 β1+β34+β235 +
Если возникает необходимость получения основных эффектов свободных от парных эффектов взаимодействия, то к выбранной реплике следует добавить еще одну реплику с обобщающим определяющим контрастом:
1= -х1х3х4=-х2х4х5=х1х2х3х5.
В добавленной реплике коэффициент b1 будет оценкой следующих эффектов: b1 β1-β34 - β1245+ β235
При сложении двух ¼-реплик b1 β1+β235, т.е. освобождаемся от парного эффекта взаимодействия.
Таким образом, если есть предположение, что эффекты взаимодействия первого порядка отличаются от нуля, нужно смешать две четверть-реплики, отличающиеся друг от друга знаками тройных произведений обобщающих контрастов.
Пример 8.5 Исследуем влияние различных факторов на разностенность изделия при вытяжке с утонением в среднем сечении. В качестве независимых переменных выбраны следующие факторы:
Х1- угол вытяжной матрицы, Х2- угол между осью пуансона и направлением хода ползуна, Х3 - обжатие, Х4 - разностенность заготовки в среднем сечении, Х5 - предел текучести (табл.8.12).
Таблица 8.12
Обознач.факто-ров |
Размер- ность
|
Область эксперимента |
|||
Нижний уровень “-“ |
Основной уровень “0”
|
Верхний уровень “+”
Ень |
Интервал варьирования. |
||
Х1 Х2 Х3 Х4 Х5
|
Град Рад. % мкм Па |
-5 .0,00156 15 35 8.0 9.8 10 |
11,5 0,00233 32,5 55 12,0 |
18 0,00310 50 74 16,0 |
6,5 0,00078 17,5 19,5 4,0 |
Постулируется линейная модель y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5..
При планировании эксперимента используем ¼-реплику от полного факторного эксперимента 2 , что позволяет ограничиться восемью опытами при проведении эксперимента вместе 32. Приравняем х4 к тройному взаимодействию х1х2х3, а х5 к х1х2. Обобщающий определяющий контраст запишется так:
1=х1х2х3х4=-х1х2х5= -х3х4х5.
Совместные оценки такой ¼-реплики таковы:
b β1-β25+β234-β1345; b2 β2-β15+β134-β2345 ; b3 β3-β45+β124+β1235;
b4 β4-β35+β123-β1245; b5 β5-β12-β34-β12345;
Так как предполагается линейная модель, взаимодействиями факторов всех порядков можно пренебречь (табл. 8.13).
Таблица 8.13
№ опыта |
Х0 |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
Х5 |
|
1 2 3 4 5 6 7 6 bj. |
+ + + + + + + + 36,1 |
- + - + - + - + 1,9 |
- - + + - - + + 0,1 |
- - - - + + + + -2.9 |
- + + - + - - + 11,1 |
- + - - - + + - -3,4 |
22,0 50,0 38,0 35,0 53,0 19,0 24,0 48,0 |
В нижней строке таблицы приведены коэффициенты регрессии линейного уравнения, рассчитанные по ранее рассмотренной методике
( см.п.6.3.4.). Таким образом, зависимость разностенности от выбранных факторов определяется по следующему уравнению:
=36,1+1,9 x1+0,1 х2-2,9 x3+11,1 x4-3,4 x5
Рассмотренные дробные реплики образованы делением полного факторного эксперимента на число частей, кратное двум. Эти реплики называются регулярными. Существуют нерегулярные реплики типа ¾, 3/8 и т.д.
Дробные реплики широко применяются при получении линейных моделей. Эффективность их применения зависит от удачного выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия, а также от умелой стратегии экспериментирования в случае значимости некоторых взаимодействий. Следует, однако, иметь в виду, что применение дробного факторного эксперимента имеет серьезный недостаток; исключение из исследования некоторых взаимодействий факторов, которые часто представляют особый интерес, так как анализ взаимодействий может помочь раскрыть сущность процесса.