5.5. Проверка гипотезы о законе распределения случайной

величины.

Для установления закона распределения генеральной совокупности по большой выборке из нее пользуются рядом критериев, из которых наибольшее практическое применение имеют критерий А.Н. Колмогорова и критерий ² К.Пирсона. Не вдаваясь в теоретическое обоснование этих критериев, приведем лишь порядок их использования.

Критерий

Для вычисления величины необходимо предварительно определить эмпирическую F^/(X) и теоретическую F(X) функции предполагаемого закона распределения для каждого исследуемого значения случайной величины X. Затем по максимальной разности этих функций определяется при помощи следующей формулы:

= |F^/(X) - F(X)|_max . (5.1)

Так как F^/(X) = N^/(x)/n ; F(X) = N(x)/ n,

где N^/(x), N(x)- накопленные эмпирические и теоретические частоты, а n - объем выборки, то вместо формулы (5.1) можно пользоваться формулой:

= {[|N^/(x)/ n - N(x)/ n|_max]/ n} (5.2)

Накопленной частотой любого m - го значения x_i называется сумма частот всех предшествующих значений x_i, включая и частоту самого x_i, т.е.:

N(x)_m= f_i,

где m - число значений x_i; f_i - частота i -го значения X.

По вычисленному по формуле (5.1) или (5.2) значению определяется вероятность согласования P( ).Эта вероятность сравнивается с установленным заранее уровнем значимости

(в технике рекомендуется принимать = 0,05). Если в результате сравнения окажется, что P( ) , гипотеза о законе распределения принимается, если P( )< , то необходимо выдвинуть новую гипотезу и провести перерасчет теоретических частот согласно выдвинутой гипотезы.

Критерий 2

Критерий ² вычисляется по следующей формуле:

² = (f_i - f )²/ f , где

m – число сравниваемых частот; f_i – эмпирическая частота;

f – теоретическая частота.

После вычисления ² по таблице определяется вероятность согласования P( ²) в зависимости от числа степеней свободы r = m – p – 1, где p – число параметров теоретического распределения. Если в результате сравнения окажется, что P( ²) , гипотеза принимается. В противном случае необходимо выдвигать новую гипотезу.

Пример. По данным таблицы вычислить критерий и проверить гипотезу о том, что эмпирическое распределение согласуется с законом Гаусса.

xi	fi	f/	N(x)	N/(x)	|N(x)-N/(x)|
-0,13	3	3,40	3	3,4	0,4
-0,11	16	11,50	19	14,9	4,1
-0,09	22	23,50	41	38,4	2,6
-0,07	25	28,55	66	66,95	0,95
-0,05	19	21,45	85	88,10	3,1
-0,03	13	9,20	98	97,40	0,6
-0,01	2	2,60	100	100	0

= {[|N^/(x)/ n - N(x)/ n|_max]/ n} =(4,1/100) = 0,41.

P(0,41) =0,9972> 0,05 – гипотеза о том, что эмпирическое распределение согласуется с законом нормального распределения, принимается

Пример. Вычислить критерий ² и проверить гипотезу о нормальном распределении выборки по данным предыдущей таблицы.

xi	fi	f/	(fi -f )	(fi-f )2/fi
-0,13	3	3
-0,11	16 19	11 14	5	1,78
-0,09	22	23	1	0,043
-0,07	25	29	4	0,055
-0,05	19	22	3	0,41
-0,03	13	9
-0,01	2 15	3 12	3	0,75

² = (f_i - f )²/ f = 3,53.

Примечание: условия применения критерия требуют, чтобы в каждом интервале число частот было не меньше пяти. Поэтому, прежде чем проводить вычисления, необходимо объединить частоты, встречаемость которых меньше пяти.

Определим данные, необходимые для вычисления числа степеней свободы r.

Число интервалов m после объединения частот равно 5, число параметров р = 2. Следовательно, r = m – p –2 = 5 – 2 – 1 =2, Р( ²) = 0,18 > 0,05. Гипотеза о нормальном законе распределения принимается.

При отсутствии таблиц значений Р( ²) или для быстрой ориентировки при помощи критерия ² можно пользоваться способом В. И. Романовского. Для этого определяется величина А:

А = | ² – r | / .

Если А 3, то гипотеза о согласовании эмпирических данных с теоретическим распределением принимается.

Критерий Колмогорова своей простотой выгодно отличается от критерия ², поэтому его весьма охотно применяют на практике. Однако этот критерий можно применить только в том случае, когда гипотетическое распределение F(x) известно полностью заранее из каких-либо теоретических соображений, т.е. когда известен не только вид функции распределения, но и все входящие в нее параметры. Такой случай сравнительно редко встречается на практике. Обычно из теоретических соображений известен только общий вид функции F(x) , а входящие в него числовые параметры определяются по данному статистическому материалу. При применении ² зто обстоятельство учитывается соответствующим уменьшением числа степеней свободы. Критерий Колмогорова такого согласования не предусматривает. Если все же применять этот критерий в тех случаях, когда параметры теоретического распределения выбираются по статистическим данным, критерий P( ) дает заведомо завышенное значение вероятности , поэтому мы в ряде случаев рискуем принять как правдоподобную гипотезу, в действительности плохо согласующуюся с опытными данными.