5.1. Определение характеристик эмпирического

распределения.

При обработке статистических данных с помощью выборочного метода, т.е. при установлении закона распределения изучаемой случайной величины Х и параметров этого распределения, необходимо прежде всего составить таблицу распределения значений Х в выборке, вычислить статистические характеристики эмпирического распределения, затем построить эмпирическую кривую распределения, по ее внешнему виду определить, к какому теоретическому распределению она приближается, и оценить близость эмпирического распределения к предполагаемому теоретическому.

Для установления закона распределения случайной величины выборка должна быть достаточно велика. С целью удобства обработки статистических данных значения Х разбивают на интервалы (разряды). Число таких интервалов должно быть не менее 6-7 при n = 50 - 100 и не менее 9-15 при n > 100. Величина разряда должна быть больше величины деления шкалы измерительного инструмента, которым производился обмер величины X в выборке, для того, чтобы этим можно было компенсировать погрешности измерения. Величину интервала можно также расчитать по формуле:

К = enteir ( 1 + 3,32 lg n), где enteir Z – целая часть числа Z.

При измерении размеров деталей необходимо, чтобы цена деления шкалы измерительного инструмента была равна (1/6 –

1/10) , где - допуск на размер детали. После установления величины и числа разрядов производится подсчет частот по каждому разряду, составляется таблица распределения, вычерчивается практическая кривая распределения и затем производится определение статистических характеристик распределения,

т.е. , S² и S.

Методику обработки статистических данных покажем на следующем примере.

Пример. Из текущей продукции автомата, обрабатывающего ролики c размером D = 20 - 0,2 мм была взята выборка объема n = 100 штук. Ролики были измерены микрометром с ценой деления 0,01 мм. В результате получены следующие данные:

-0,07;-0,03;-0,04;-0,08;-0,03;-0,08;-0,09;-0,10;-0,10;-0,10;

-0,13;-0,08;-0,06;-0,04;-0,04;-0,03;-0,04;-0,11;-0,07;-0,12;

-0,03;-0,07;-0,08;-0,11;-0,05;-0,05;-0,07;-0,09;-0,03;-0,10;

-0,11;-0,14;-0,13;-0,08;-0,12;-0,07;-0,09;-0,11;-0,10;-0,08;

-0,05;-0,12;-0,07;-0,06;-0,08;-0,11;-0,10;-0.03;-0,12;-0,10;

-0,08;-0,05;-0,11;-0,07;-0,05;-0,08;-0,09;-0,09;-0,09;-0,02;

-0,06;-0,12;-0,05;-0,07;-0,11;-0,05;-0,08;-0,11;-0,03;-0,02;

-0,11;-0,06;-0,07;-0,06;-0,06;-0,12;-0,10;-0,09;-0,08;-0,01;

-0,05;-0,07;-0,06;-0,05;-0,08;-0,09;-0,04;-0,08;-0,09;-0,09;

-0,07;-0,06;-0,06;-0,12;-0,05;-0,03;-0,10;-0,09;-0,09;-0,08;

Согласно приведенным данным наибольшее значение

x _max = - -0,01, наименьшее x_min = - 0,14. Размах варьирования или широта распределения составляет

x _max – x _min = - 0,01 – ( - 0,014 ) ==0,013.

Задаваясь числом разрядов, равным 7, определим цену разряда:

C = 0,13/ 7 0,02.

Полученная величина разряда в два раза больше цены деления шкалы измерительного инструмента, что вполне приемлемо. Подсчет частот по каждому разряду производится следующим образом. В каждый разряд включаются размеры, лежащие в пределах от наименьшего значения разряда включительно, до наибольшего разряда, исключая его. Составим таблицу распределения и вычертим эмпирическую кривую распределения.

Таблица распределения Х

интервалы		середина интер.	частота	частость
от	до	хi	f	W(x)
-0,14	-0,12	-0,13	3	0,03
-0,12	-0,10	-0,11	16	0,16
-0,10	-0,08	-0,09	22	0,22
-0,08	-0,06	-0,07	25	0,25
-0,06	-0,04	-0,07	19	0,19
-0,04	-0,02	-0,02	13	0,13
-0,02	0	-0,01	2	0,02
			= 100	= 1

2 5 полигон гистограмма

2 0

1 5

10

5

-0,14 -0,12 -0,10 -0,08 -0,06 -0,010 0,02 x

Для вычисления статистических характеристик распределения, т.е. и S², служат формулы :

= x_i f_i / n ; S² = .

Однако, если воспользоваться свойствами для M(X) и D(X), которые будут справедливы и для их оценок, искомые значения и S²можно определить по формулам :

= a + C[ ( ^/_i f_i)/n] ;

S² = C²[ ( ^/2_i f_i)/n - ( ^/_i f_i)/n)²],

где a- новое начало отсчета (можно принимать любое численное значение, но лучше всего принимать за a значение середины интервала, имеющего наибольшую частоту). С - величина интервала.

Вычисления удобно вести по следующей таблице.

Вычисление статистических характеристик распределения

интервалы				xi/=(xi -a)/c	xi/fi
от	до
-0,14	-0,12	-0,13	3	-3	-9	27
-0,12	-0,10	-0,11	16	-2	-32	64
-0,10	-0,08	-0,09	22	-1	-22	22
-0,08	-0,06	-0,07	25	0	0	0
-0,06	-0,04	-0,05	19	1	19	19
-0,04	-0,02	-0,03	13	2	26	52
-0,02	0	-0,01	2	3	6	18
		100		-12		202
a= -0,07; C = - 0,02.

= a + C( ( ^/_i f_i)/n = -0,07 + 0,02 ( -12/100 ) = - 0,072

S² = [ ( ^/2_i f_i)/n - ( ^/_i f_i)/n)²] = (0,02)²[202/100 – (-12/100)² ]=0,000784,

S = = 0,028 .