1.4. Основные формулы теории вероятностей.

Приведем ряд теорем и основных формул, вывод которых прост и имеется в любом учебнике по теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Пример. в урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Р(А)= 10/30 +5/30=1/2.

В общем случае вероятность суммы нескольких событий равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие. Если несовместные события A_1, A_2,…, An образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий:

Р(А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(АВ);

Р(А+В+С+)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС);

P( A_i)= P(A_i)- P(A_iA_j)+ P(A_i)P(A_j)P(A_k)-…

+(-1)^n-1P(A₁A₂…A_n).

Теорема умножения вероятностей для

независимых событий

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий. В символической форме это значит Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Например, если имеются две группы изделий a₁b₁c₁d₁e₁ и a₂b₂, причем из каждой группы производится случайная выборка изделий, то вероятность сов­местной выборки изделий а₁ и а₂ составит 1/5х1/2=1/10 . Этому примеру можно дать и такую интерпретацию. Если дефектными изделиями являются только изделия а₁ и а₂, то вероятность, что оба изделия в осуществленной таким образом выборке из двух изделий будут дефектными, равна 1/10.

Аналогично этому, вероятность совместного появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий:

Р(А₁А₂…А_n)=P(A₁)P(A₂)…P(A_n).

Рассмотрим теперь случай, когда приходится иметь дело с условными вероятностями. Предположим, что речь идет о партии из шести перчаток, в которой содержится 3 перчатки на правую руку и 3 перчатки на левую. Из этой партии мы случайным образом выбираем 2 перчатки, и нас интересует, какова вероятность выборки двух парных перчаток (одной перчатки на правую руку и одной - на левую).

Вероятность выбора правой перчатки при первом выборе равна 3/6. После выбора этой перчатки вероятность выбора левой перчатки 3/5. Следовательно, вероятность выбора сначала правой, а потом левой перчатки равна 3/6x3/5=9/30. Аналогично этому вероятность выбора вначале левой перчатки равна 3/6, а за ней правой – 3/5. Вероятность выбора этой пары равна 9/30. А вероятность выбора пары вообще равна

9/30+9/30=18/30

Теперь можно сформулировать теорему умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна безусловной вероятности первого события, умноженной на условную вероятность второго события. В символической форме это можно записать следующим образом:

P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B).

1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса

Пример. Штамповочный цех отправил в ОТК два контейнера штампованных деталей. Первый контейнер содержит 20000 деталей, 5% которых являются браком. Второй контейнер содержит 10000 деталей с 1% бра­ка. Детали из обоих контейнеров были перемешаны, после чего контро­лер берет наудачу из общей партии одну штампованную деталь. Какова вероятность того, что деталь будет бракованной? Для расчета вероятности введем следующие обозначения: событие А - выбор исходной детали; событие В₁- выбор из общей партии детали, которая раньше находилась в первом контейнере, В₂ - во втором контейнере. Вероятность выбора бракованной детали из первого контейнера- Р(А/В₁)= 0,05; из второго- Р(А/В₂)=0,01.

Вероятность Р(В₁)= 2000/3000= 2/3; Р(В₂)= 1/3. Теперь можно подсчитать: Р(А)= 2/3х0,005+1/3х0,01=0,037.

Сформулируем следующую теорему:

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁,В₂,…,В_n, образующих полную группу, равна сумме вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А)= Р(В_i)P(А/В_i)-формула полной вероятности.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n , образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какие из этих событий наступят, их называют гипотезами. Вероятность появления события определится по формуле полной вероятности:

P(А) = Р(В_i)Р(А/В_i).

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить: как изменились (в связи с тем, что появилось событие А) вероятности гипотез, т.е. найти Р(В₁/А), Р(В₂/А) и так далее.

Найдем сначала Р(В₁). По теореме умножения вероятностей

Р(АВ₁) = Р(А)Р(В₁) = Р(В₁)Р(А/В₁); Р(В₁/А) = Р(В₁)Р(А/В₁)/Р(А),

но Р(А) = Р(В_i)P(А/В_i). Окончательно запишем:

Р(В₁/А) = Р(В₁)Р(А/В₁)/ Р(В_i)Р(А/В_i), а в общем виде формула примет вид:

Р(В_i/А)= Р(В_i)Р(А/В_i)/ Р(В_i)Р(А/В_i) – - формула Байеса.

Пример. На предприятии имеется 3 станка одного типа. Один из них дает 20% продукции, второй - 30%, третий - 50%. При этом первый станок дает 5% брака, второй - 4%, третий - 2%. Найти вероятность того, что случайно отобранное бракованное изделие выпущено первым станком.

Пусть событие В_i обозначает принадлежность изделия i- му станку (i=1, 2, 3). Тогда Р(В₁) =20/100 = 0,2; Р(В₂) = 0,3; Р(В₃) = 0,5. Соответственно Р(А/В₁) = 0, 05; Р(А/В₂) = 0,04; Р(А/В₃) = 0, 02. Подставив данные в формулу Байеса, получим

Р(В₁/А) = 0,2х0,05/0,2х0,5+0,3х0,04+0,5х0,02 = 0,031