- •Лекция 1. Общие сведения по теории вероятностей.
- •Условные и безусловные вероятности.
- •1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Понятие случайного события.
- •1) Вероятность достоверного события равна 1;
- •2) Вероятность невозможного события равна 0;
- •Вероятность случайного события заключена
- •1.2. Алгебра событий.
- •1.3. Зависимые и независимые события.
- •1.4. Основные формулы теории вероятностей.
- •1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •1.6. Частная теорема о повторении опытов.
- •2.1. Случайные величины и их законы распределения.
- •2.2. Функция распределения.
- •2 .3. Вероятность попадания случайной величины
- •2.4. Плотность распределения
- •2.5. Числовые характеристики случайной величины
- •2.6 Понятие о моментах случайной величины.
- •2.7. Основные свойства математического ожидания
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии случайной величины:
- •Лекция 3. Основные законы распределения
- •3.1. Гипергеометрическое распределение
- •3.5. Закон равной вероятности
- •3.7. Закон распределения модуля разности
- •3.8. Композиция законов распределения
- •3.1.Гипергеометрическое распределение.
- •3.5. Закон равной вероятности.
- •3.7. Закон распределения модуля разности.
- •Статистики
- •4.1. Основные задачи математической статистики
- •4.2. Основные понятия и определения. Выборочного метода
- •4.3. Выборочные характеристики. Состоятельные,
- •Свойства выборочных средних и дисперсий.
- •Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •Задача определения закона распределения случайной величины.
- •2. Задача проверки правдоподобия гипотез.
- •3.Задача нахождения неизвестных параметров распределения.
- •4.2. Основные понятия и определения. Выборочного метода.
- •Генеральная совокупность и выборка из нее.
- •4.3. Выборочные характеристики. Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки характеристики.
- •4.5. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •5.1. Определение характеристик эмпирического
- •5.2. Сопоставление и проверка сходимости
- •Координаты характерных точек кривой
- •5.3. Сопоставление эмпирического распределения
- •5.4. Статистическая проверка гипотез.
- •5.5. Проверка гипотезы о законе распределения случайной
- •Критерий
- •Критерий 2
- •5.6. Проверка гипотезы равенства двух выборочных средних
- •5.7. Проверка гипотезы равенства двух выборочных
- •5.8. Проверка гипотезы равенства ряда дисперсий .
- •Критерий Бартлета.
- •Критерий Кохрана.
- •5.9. Проверка гипотезы равенства ряда средних.
- •5.10. Метод исключения грубых ошибок измерения
- •5.11. Выбор числа наблюдений
- •6.1.Закон больших чисел и центральная
- •6.2. Неравенство Чебышева.
- •Неравенство Чебышева.
- •6.3. Закон больших чисел (теорема Чебышева).
- •6.4 Теорема Бернулли.
- •7.2. Коэффициент корреляции и корреляционное отношение.
- •7.3. Корреляционный анализ
- •7.4 Выбор уравнения регрессии
- •7.5. Понятие о множественной корреляции
- •Лекция 8. Основы планирования
- •8.6.1. Метод крутого восхождения.
- •8.1. Основные определения.
- •«Черный ящик »
- •8.3. Полный факторный эксперимент.
- •8.3.1 Выбор интервалов варьирования факторов
- •8.3.2 Полный факторный эксперимент типа 2
- •Построение матрицы 2
- •8.3.3. Свойства полного факторного эксперимента типа 2 к
- •8.3.4. Полный факторный эксперимент
- •8.3.5 Анализ модели.
- •8.3.5.1. Проверка значимости коэффициентов модели.
- •Расчет дисперсии опытов и оценка их однородности
- •Расчет дисперсий параметра оптимизации и коэффициентов регрессии
- •Проверка значимости коэффициентов регрессии
- •8.3.5.2. Проверка адекватности модели
- •8.4. Дробный факторный эксперимент.
- •8.4.1.Минимизация числа опытов.
- •Дробная реплика
- •8.4.3. Выбор полуреплик. Генерирующие соотношения и определяющие контрасты
- •8.4.4.Выбор 1/4-реплик. Обобщающий
- •8.6. Оптимизация функции отклика.
- •8.6.1. Метод крутого восхождения.
- •6.6.2. Методика расчета крутого восхождения
- •6.7. Принятие решений после построения модели процесса
- •8.5 Рандомизация опытов.
- •8.6 Оптимизация функции отклика
- •8.6.1. Метод крутого восхождения. Движение по градиенту
- •8.6.2. Методика расчета крутого восхождения
- •8.7.Принятие решений после построения
- •9.1. Статистический анализ точности обработки.
- •9.3. Статистический анализ посредством малых выборок.
- •9.4. Статистический анализ с помощью точечных
- •9.4.1. Карта средних значений (карта « »)
- •9.4.2. Карта медиан (карта )
- •9.4.3. Карты « »
- •9.4.4. Метод средних арифметических значений и
- •9.4.4. Контрольные карты по неизмеримым
- •Карта «р»
- •Карта «с».
3.5. Закон равной вероятности.
Если непрерывная случайная величина при испытаниях принимает все значения интервала х с одинаковой плотностью вероятности, то распределение вероятности графически будет выражаться в виде прямоугольника, с основанием аb и высотой f(х) (рис.а).
f(x) F(x)
M(x) 1
0,5
f (x)
M(x)
X X
Рис. а) Рис. б)
Такой закон распределения н.с.в. называется законом равной вероятности, а само распределение - равномерным. При интервале изменений случайной величины Х от а до b:
Р( а < X < b ) = f(x)d(x) = 1,
т.е., вероятность того, что случайная величина x при испытаниях будет принимать значения в интервале от a до b, равна площади под дифференциальной кривой распределения. В соответствии с рис. a), эта площадь представляет собой прямоугольник с основанием ab и высотой f(x). Следовательно, (b – a) f(x) = 1.
Отсюда, уравнение дифференциальной функции распределения или плотности вероятности будет иметь следующий вид:
1/(b – a) при a x b;
f(x) =
0 при x > b, x < a.
Математическое ожидание, дисперсия и с.к.о. соответственно равны: М(х) = (b + а)/2; D(x) = (b – a )2/12; (x) = (b – a)/2 .
Применение закона. Закон наблюдается в тех случаях, когда на исследуемую величину оказывает влияние резко доминирующий фактор, равномерно изменяющийся во времени ( например, равномерный износ инструмента).
3.6. Закон распределения эксцентриситета (Релея).
Закон распределения эксцентриситета имеет место при отклонениях эксцентриситета осей или биении поверхностей деталей, которые являются н.с.в. Этот закон однопараметрический, и дифференциальная функция его распределения имеет вид:
f(R) =(R/ 2)e-R /2 ,
где R – переменная величина эксцентриситета или биения,
причем R = , а x и y - координаты точки конца R (рис.а); - среднее квадратическое отклонение значений координат х и y, имеющих одинаковое распределение: = х = y.
Интегральный закон распределения эксентриситета имеет выражение: F(R) = 1/ 2 Re-R /2 dR.
Графическое изображение дифференциального закона распределения дано на рис. б).
y
f (R)
y
y
Рис.2 R
Рис. 1 x R=
Особенностью данного распределения является то, что в основе его лежит нормальное распределение, так как координаты х и y точки конца R распределены нормально, а само распределение не является нормальным. Связь между R, M(R) и представлена следующими зависимостями:
M(R) = ; R = ;
Закон Релея можно ожидать в следующих случаях:
а) при несоосности двух номинально соосных цилиндрических поверхностей (эксцентриситет, биение);
б) при непараллельности двух образующих цилиндрических
поверхностей;
в) при непараллельности двух плоскостей;
г) при непараллельности двух плоскостей или осей к плоскости;
д) при разностенности.