3.Задача нахождения неизвестных параметров распределения.

Иногда характер закона распределения качественно известен до опыта, из теоретических соображений; например, часто можно утверждать заранее, что случайная величина подчинена нормальному закону. Тогда возникает задача более узкая - определить только некоторые параметры (числовые характеристики) случайной величины. При небольшом числе опытов задача более или менее точного определения этих параметров не может быть решена; в этих случаях экспериментальный материал содержит в себе неизбежно значительный элемент случайности, поэтому случайными оказываются и все параметры, вычисленные на основе этого материала. В таких условиях может быть поставлена задача об определении так называемых "оценок" или "подходящих значений" для искомых параметров, т.е. таких приближений, которые при массовом применении приводили бы в среднем к меньшим ошибкам, чем всякие другие. С задачей отыскания "подходящих значений" числовых характеристик тесно связана задача оценки их точности и надежности.

4.2. Основные понятия и определения. Выборочного метода.

Одной из основных задач математической статистики является разработка методов изучения массовых явлений или процессов на основе сравнительно небольшого количества наблюдений или опытов. Эти методы имеют свое научное обоснование, свою теорию, которая носит название теории выборок. При изучении основных положений этой теории приходиться встречаться с рядом новых понятий и определений.

Генеральная совокупность и выборка из нее.

Группа предметов, объединенных каким-либо общим признаком или свойством качественного или количественного характера, носит название статистической совокупности. Например, партия деталей представляет собой статистическую совокупность. Если совокупность содержит конечное число членов, полученных в результате испытаний, то она называется эмпирической. В математической статистике для обследования большой совокупности прибегают к выборкам из нее. Выборкой называется часть членов совокупности отобранные из нее для получения сведений о всей совокупности. В этом случае совокупность, из которой извлекается выборка, называется генеральной совокупностью. Число членов, образующих выборку, составляют ее объем. Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы члены выборки правильно его представляли. Это требование коротко формулируется так: выборка должна быть репрезентативной (представительной).

4.3. Выборочные характеристики. Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки характеристики.

В начале курса были рассмотрены такие понятия как классическая и статистическая вероятности.

Если классическая вероятность - это теоретическая характеристика, которую можно определить, не прибегая к опыту, то статистическая вероятность может быть определена только по результатам эксперимента. При большем числе опытов величина W(A) может служить оценкой для вероятности P(A). Достаточно вспомнить классические опыты Бюффона и Пирсона. Подобные аналогии можно продолжить и далее. Например, для теоретической характеристики М(x) таковой аналогией будет - среднее арифметическое:

= _i f_i / n,

для дисперсии D(x) эмпирическим аналогом будет статистическая дисперсия :

S²(x) = (x_i - )²f_i / n.

Эмпирические характеристики , S²(x), W(A) являются оценками параметров М(x), D(x), P(A). В тех случаях, когда эмпирические характеристики определяются на основе большого числа опытов, использование их в качестве теоретических параметров не приведет к существенным ошибкам в исследовании, однако в тех случаях, когда число опытов ограничено, ошибка при замене будет существенна. Поэтому к эмпирическим характеристикам, являющимися оценками теоретических параметров предъявляются 3 требования:

оценки должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

Оценка называется состоятельной, если вероятность отклонения ее от оцениваемого параметра на величину меньшую как угодно малого положительного числа стремится к единице при неограниченном увеличении числа наблюдений n, т.е.

P( | ^- | < ) = 1

где - некоторый параметр генеральной совокупности,

^/- оценка этого параметра. Большинство оценок различных чис­ловых параметров отвечают этим требованиям. Однако одного этого требования бывает недостаточно. Необходимо, чтобы они еще были и несмещенными.

Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание этой оценки равно оцениваемому параметру:

М ( ^/) = .

Примером состоятельной и несмещенной оценки систематического ожидания является средняя арифметическая:

М ( ) = .

Примером состоятельной и смещенной оценки является

дисперсия:

М ( S²(x) ) = [(n – 1)/ n]D(x).

Поэтому, чтобы получить несмещенную оценку теоретической дисперсии D(x) надо эмпирическую дисперсию S²(x) умножить на n/(n – 1) , т.е.

S²(x) = (x_i - )²f_i / n n /(n – 1) = (x_i - )²f_i/(n – 1).

Практически эту поправку вносят при вычислении оценки дисперсии в тех случаях, когда n < 30 .

Состоятельных несмещенных оценок может быть несколько. Например, для оценки центра рассеивания нормального распределения наряду со средней арифметической , может быть взята медиана . Медиана так же, как и является несмещенной состоятельной оценкой центра группирования. Из двух состоятельных несмещенных оценок для одного и того же параметра естественно отдать пред­почтение той, у которой дисперсия меньше.

Такая оценка, у которой дисперсия будет наименьшей относительно оцениваемого параметра, называется эффективной. Например, из двух оценок центра рассеивания нормального распределения М(x) эффективной оценкой является , а не , так как дисперсия меньше дисперсии . Сравнительная эффективность этих оценок при большой выборке приближенно равна: D( ) / D = 2/ = 0,6366.

Практически это означает, что центр распределения генеральной совокупности (назовем его ₀ ) определяется по с той же точностью при n наблюдениях, как и при 0,6366 n наблюдениях по средней арифметической .

4.4. Свойства выборочных средних и дисперсий.

1. Если объем выборки достаточно велик, то на основе закона больших чисел с вероятностью близкой к единице, можно утверждать, что средняя арифметическая и дисперсия S² будут как угодно мало отличаться от М(x) и D(x), т.е.

М(x), S²(x) D(x),

2. Ошибка вычисления М(x) по средней выборки зависит от ее объема n и равна S / .

Ошибка вычисления среднеквадратического отклонения генеральной совокупности по среднеквадратическому отклонению выборки зависит от ее объема и равна S / .

3. Если случайная величина X в генеральной совокупности име­ет нормальное распределение со средней М(x) и дисперсией D( ) , то и средние арифметические выборок из этой совокупности будут подчинены также нормальному распределению со средней и дисперсией D( ), каков бы не был объем выборок n, лишь бы число выборок было достаточно велико.

4. Когда дисперсия D(x), генеральной совокупности неизвестна, тогда для больших значений n с большей вероятностью малой ошибки можно дисперсию выборочных средних вычислить приближенно по равенству:

D( ) = S²(x) / n,

где S²(x) = (x_i - )²f_i / n- дисперсия большой выборки.