8.5 Рандомизация опытов.

Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызванных внешними условиями (переменной температуры, сырья и т.д.), рекомендуется случайная последовательность при постановке опытов, запланированных матрицей, т.е. опыты необходимо рандомизировать.

Рассмотрим пример рандомизации условий эксперимента. Проводится факторный эксперимент 2³. Предположим» что каждое значение параметра оптимизации определяется по двум параллельным опытам. Нужно случайно расположить все 16 опытов. Присвоим параллельным опытам номера с 9 по 16. Тогда опыт 9 будет повторим по отношению к опыту 1, опыт 10 - к опыту 2 и т.д. Следующий этап рандомизации - использование таблицы случайных чисел (такие таблиц проводятся в руководствах по математической статистике). В случайном месте таблицы вписываются числа с 1 по 16 отбрасыванием чисел больше 16 и уже выписанных. Можно также рекомендовать следующий способ. Заготавливаются и нумеруются 16 карточек, которые затем тщательно перемешиваются и раскладываются. Предположим, что в результате получена такая последовательность: 2, 15, 9, 5, 12, 14, 8, 13, 16, 1, 3, 7, 4, 6, 2, 10. Это значит, что первым реализуется опыт 2, вторым - опыт 15 и т.д. Выбранную случайным образом последовательность нарушать не рекомендуется

8.6 Оптимизация функции отклика

8.6.1. Метод крутого восхождения. Движение по градиенту

После вывода уравнения регрессии с помощью постановки полного или дробного факторного эксперимента у экспериментатора может возникнуть следующий вопрос: можно ли оптимизировать полученную функцию отклика, т.е. добиться такого сочетания факторов, при котором полученная функция принимала бы оптимальные значения?

Для поиска оптимальных условий в планировании экстремальных экспериментов широко применяется метод крутого восхождения по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения, который определяется реализацией плана полного или дробного факторного эксперимента.

Пример 8.6. Представим, что человек с закрытыми глазами хочет пройти кратчайшим путем к вершине горы. Он будет делать шаги в разные стороны, чтобы определить направление движения. Достигнув вершины, человек должен оценить ее крутизну, сделав поочередно по шагу во все четыре стороны.

Градиент функции отклика есть вектор:

(6.15)

или

,

где grad - обозначение градиента; - частная производная фукнции по i-фактору; i, j, … k - единичные векторы в направлении осей факторного пространства.

Следовательно, составляющие градиента являются частными производными функции отклика. В случае, если модель линейна по параметрам, частные производные равны коэффициентам регрессии при факторах. Для движения по градиенту необходимо изменять факторы пропорционально соответствующим коэффициентам регрессии и в ту сторону, в которую указывает знак коэффициентов.

Рассмотрим простейший случай для одного фактора. Пусть регрессионная модель имеет вид:

Градиент этой функции в точке x в соответствии с формулой можно записать так:

В начале координат (в точке x=0) , т.е. вектор-градиент функции имеет длину, равную абсолютному значению коэффициента b₁ . На рис.6.6 представлена графическая иллюстрация вектора-градиента для этого случая.

y

В

O A

I

-1 0 +1

Рис.8.6. Расчет координат точек

в направлении градиента

Значение коэффициента регрессии равно тангенсу угла между линией регрессии и осью данного фактора. Если его умножить на интервал варьирования, который является прилежащим катетом в прямоугольном треугольнике ОАВ , то получится значение; равное размеру противолежащего катета , который и дает координаты точки, лежащей на градиенте.

Приведем краткий вывод основных соотношений для движения в направлении градиента функции отклика. Пусть функция отклика имеет вид полинома

y=b₀+b₁х₁+b₂х₂+…+b_Kx_K.

Вектор-градиент этой функции в начале координат, т.е. при х₁=0, х₂=0…x_K =0, запишем так:

Уравнение прямой линии, проходящей в факторном пространстве через начало координат параллельно вектору-градиенту в той же точке, имеет вид

x_i=λb_i при i=1,2,…,к.. (8.16)

Кодированные переменные x_i(i=1,2,…,к) связаны с натуральными переменными x₁,x₂,…,x_K формулой (8.1).Тогда из равенства (8.16) получим

при i=1,2,..k. (8.17)

Уравнение прямой (8.17) лежит в основе метода крутого восхождения. Точки с координатам x₁,x₂,…x_K удовлетворяющие этому уравнению, находятся на линии крутого .восхождения. Меняя значения параметра k, можно найти координаты нескольких точек, лежащих на данной линии. В соответствии с методом крутого восхождения отыскивается такая точка на линии, выраженной уравнением (8.17), которой отвечает максимальное значение величины .