- •Лекция 1. Общие сведения по теории вероятностей.
- •Условные и безусловные вероятности.
- •1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Понятие случайного события.
- •1) Вероятность достоверного события равна 1;
- •2) Вероятность невозможного события равна 0;
- •Вероятность случайного события заключена
- •1.2. Алгебра событий.
- •1.3. Зависимые и независимые события.
- •1.4. Основные формулы теории вероятностей.
- •1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •1.6. Частная теорема о повторении опытов.
- •2.1. Случайные величины и их законы распределения.
- •2.2. Функция распределения.
- •2 .3. Вероятность попадания случайной величины
- •2.4. Плотность распределения
- •2.5. Числовые характеристики случайной величины
- •2.6 Понятие о моментах случайной величины.
- •2.7. Основные свойства математического ожидания
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии случайной величины:
- •Лекция 3. Основные законы распределения
- •3.1. Гипергеометрическое распределение
- •3.5. Закон равной вероятности
- •3.7. Закон распределения модуля разности
- •3.8. Композиция законов распределения
- •3.1.Гипергеометрическое распределение.
- •3.5. Закон равной вероятности.
- •3.7. Закон распределения модуля разности.
- •Статистики
- •4.1. Основные задачи математической статистики
- •4.2. Основные понятия и определения. Выборочного метода
- •4.3. Выборочные характеристики. Состоятельные,
- •Свойства выборочных средних и дисперсий.
- •Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •Задача определения закона распределения случайной величины.
- •2. Задача проверки правдоподобия гипотез.
- •3.Задача нахождения неизвестных параметров распределения.
- •4.2. Основные понятия и определения. Выборочного метода.
- •Генеральная совокупность и выборка из нее.
- •4.3. Выборочные характеристики. Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки характеристики.
- •4.5. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •5.1. Определение характеристик эмпирического
- •5.2. Сопоставление и проверка сходимости
- •Координаты характерных точек кривой
- •5.3. Сопоставление эмпирического распределения
- •5.4. Статистическая проверка гипотез.
- •5.5. Проверка гипотезы о законе распределения случайной
- •Критерий
- •Критерий 2
- •5.6. Проверка гипотезы равенства двух выборочных средних
- •5.7. Проверка гипотезы равенства двух выборочных
- •5.8. Проверка гипотезы равенства ряда дисперсий .
- •Критерий Бартлета.
- •Критерий Кохрана.
- •5.9. Проверка гипотезы равенства ряда средних.
- •5.10. Метод исключения грубых ошибок измерения
- •5.11. Выбор числа наблюдений
- •6.1.Закон больших чисел и центральная
- •6.2. Неравенство Чебышева.
- •Неравенство Чебышева.
- •6.3. Закон больших чисел (теорема Чебышева).
- •6.4 Теорема Бернулли.
- •7.2. Коэффициент корреляции и корреляционное отношение.
- •7.3. Корреляционный анализ
- •7.4 Выбор уравнения регрессии
- •7.5. Понятие о множественной корреляции
- •Лекция 8. Основы планирования
- •8.6.1. Метод крутого восхождения.
- •8.1. Основные определения.
- •«Черный ящик »
- •8.3. Полный факторный эксперимент.
- •8.3.1 Выбор интервалов варьирования факторов
- •8.3.2 Полный факторный эксперимент типа 2
- •Построение матрицы 2
- •8.3.3. Свойства полного факторного эксперимента типа 2 к
- •8.3.4. Полный факторный эксперимент
- •8.3.5 Анализ модели.
- •8.3.5.1. Проверка значимости коэффициентов модели.
- •Расчет дисперсии опытов и оценка их однородности
- •Расчет дисперсий параметра оптимизации и коэффициентов регрессии
- •Проверка значимости коэффициентов регрессии
- •8.3.5.2. Проверка адекватности модели
- •8.4. Дробный факторный эксперимент.
- •8.4.1.Минимизация числа опытов.
- •Дробная реплика
- •8.4.3. Выбор полуреплик. Генерирующие соотношения и определяющие контрасты
- •8.4.4.Выбор 1/4-реплик. Обобщающий
- •8.6. Оптимизация функции отклика.
- •8.6.1. Метод крутого восхождения.
- •6.6.2. Методика расчета крутого восхождения
- •6.7. Принятие решений после построения модели процесса
- •8.5 Рандомизация опытов.
- •8.6 Оптимизация функции отклика
- •8.6.1. Метод крутого восхождения. Движение по градиенту
- •8.6.2. Методика расчета крутого восхождения
- •8.7.Принятие решений после построения
- •9.1. Статистический анализ точности обработки.
- •9.3. Статистический анализ посредством малых выборок.
- •9.4. Статистический анализ с помощью точечных
- •9.4.1. Карта средних значений (карта « »)
- •9.4.2. Карта медиан (карта )
- •9.4.3. Карты « »
- •9.4.4. Метод средних арифметических значений и
- •9.4.4. Контрольные карты по неизмеримым
- •Карта «р»
- •Карта «с».
5.6. Проверка гипотезы равенства двух выборочных средних
(закон распределения нормальный).
Предположим, что из одной и той же генеральной совокупности взяты две выборки, которые для величины X дают средние 1 и 2 отличные друг от друга. Требуется узнать, случайно ли это расхождение. Этот вопрос имеет важное значение для исследователя при проведении опытов. Если расхождение между 1 и 2 будет существенным, то это может указать на ошибки в опытах или в методике их выполнения, тогда как случайность их расхождения указывает на отсутствие этих ошибок. Подобный вопрос возникает и при исследовании влияния разных факторов на изучаемый признак. Если опыт с фактором А и без него дали отличные друг от друга 1 и 2 , то при случайном отличии значений их очевидно, что фактор А не влияет на исследуемый признак и, наоборот, влияет при существенном расхождении между 1 и 2. Наконец, может на практике возникнуть и такой вопрос: принадлежат ли выборки одной и той же генеральной совокупности? И этот вопрос можно оценить, сравнивая выборочные средние 1 и 2. Если выборки взяты иэ одной и той же генеральной совокупности, то расхождение между 1 и 2 будет случайно.
Оценка расхождения двух выборочных средних производится с помощью t -критерия Стьюдента:
t = ,
где n1 и n2 - объемы выборок; 1 и 2 , S и S - их средние и дисперсии.
По вычисленному значению t по таблицам выбирается вероятность P(t) в зависимости от числа степеней свободы r = n1 + +n2 – 2 . Если эта вероятность будет мала (P(t) 0,05 ), то гипотеза о несущественном, случайном расхождении между 1 и 2 должна быть забракована. Если P(t) > 0,05 , гипотеза принимается.
Рассмотренный метод сравнения и оценки расхождения выборочных средних пригоден для малых выборок, когда объем n < 25. Если n > 25, то t удобнее вычислять по формуле:
t = .
Пример. С двух позиций рабочего ротора линии 1 ЛГ -307 были взяты в одно время 2 выборки по 5 шт. каждая. Измерялась глубина гнезда, чертежный размер которого 3+0,18 . Результаты измерения приведены в таблице.
№ выборки |
№ детали |
|
S2
|
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|||
1 |
3,05 |
3,08 |
3,10 |
3,09 |
3,08 |
3,084 |
0,0004 |
2 |
3,10 |
3,15 |
3,05 |
3,08 |
3,10 |
3,096 |
0,0013 |
Пусть гипотеза заключается в том, что генеральные средние в момент взятия выборок были равны между собой, т.е. 1 = 2. Другими словами настройка первой и второй позиций рабочего ротора одинакова.
Так как число опытов в каждой из серии опытов меньше n < 25, то значение t вычисляем по формуле :
t= = 0,58
Уровень значимости примем равным 0,05. Подсчитаем число степеней свободы r: r = n1 + n2 – 2 = 5 + 5 – 2 = 8. Табличное значение Р(t) = 0,6> 0,05. Следовательно, позиции рабочего ротора настроены одинаково.
Примечание. Если выборки взяты из генеральной совокупности, распределение которой не следует закону нормального распределения, то оценка расхождения двух выборочных средних возможна лишь приближенно. Для этой цели также определяется величина t по тем же формулам. Если в результате окажется что t 3, то с большой вероятностью (которая, однако, остается неопределенной) можно считать, что средние 1 и 2 различаются существенно, если t < 3 - расхождение случайно.