5.2. Сопоставление и проверка сходимости
эмпирических распределений с теоретическими
(случай нормального распределения).
Эмпирическое распределение непрерывной случайной величины можно рассматривать как большую выборку из генеральной совокупности, подчиняющейся какому-либо теоретическому закону распределения. На основании закона больших чисел можно считать, что распределение большой выборки будет отражать вполне характер распределения генеральной совокупности. Поэтому по внешнему виду эмпирической кривой распределения можно приближенно установить закон теоретического распределения генеральной совокупности. Для более точного заключения необходимо сопоставить эмпирическую кривую распределения с предполагаемой теоретической. С этой целью для каждого интервала значений случайной величины X необходимо вычислить теоретическую кривую распределения в том же масштабе, что был принят для построения эмпирической кривой. Путем совмещения эмпирической и теоретической кривых распределения можно предварительно оценить близость эмпирического распределения к предполагаемому теоретическому.
Пусть
имеется эмпирическое распределение со
средним арифметическим
и средним квадратическим S
. Примем эти характеристики эмпирического
распределения в качестве оценки
параметров M(X)
,
распределения генеральной совокупности,
т.е. примем: M(X)
=
;
=
S.
Если по внешнему виду эмпирическая кривая распределения приближается к теоретической кривой нормального распределения, то можно считать, что
f(x) = [(1/ ) 0] e(x- ) /2 = f//nC,
где f/ - теоретическая частота. Следовательно,
f/ = (nC) [(1/ ) 0] e(x- ) /2 ,
где
n
- объем выборки, C
-
величина интервала эмпирической
совокупности. Заменив (x-
)/
0
на
t
и принимая
0
S,
получим
f/
= (nC)
[(1/
)S]
e-t
/2
= (nC/S)Zt
.
Функция Zt табулирована и приведена во всех учебниках по математической статистике.
Расчет теоретических частот рассмотрим на примере,используя данные предыдущей таблицы.
xi |
fi |
| t | |
Zt |
f/ |
f окр |
-0,13 |
3 |
2,070 |
0,0468 |
3,40 |
3 |
-0,11 |
16 |
1,350 |
0,1604 |
11,50 |
12 |
-0,09 |
22 |
0,640 |
0,3251 |
23,50 |
23 |
-0,07 |
25 |
0,072 |
0,3980 |
28,55 |
29 |
-0,05 |
19 |
0,785 |
0,2940 |
21,45 |
21 |
-0,03 |
13 |
1,500 |
0,1295 |
9,20 |
9 |
-0,01 |
2 |
2,200 |
0,0355 |
2,60 |
3 |
= 100
Для построения теоретической кривой нормального распределения необязательно вычислять теоретические частоты для всех значений , а достаточно вычислить координаты только 4-х характерных точек кривой нормального распределения по формулам, приведенным в таблице.