7.2. Коэффициент корреляции и корреляционное отношение.
При
изучении корреляционных связей возникают
три основных вопроса: наличие связи,
форма связи и сила связи. Ответы на эти
вопросы могут быть получены с помощью
коэффициента корреляции
xy
= M{[
x
– M(x
)][y
– M(y)]}/
x
y
и корреляционного отношения
y
=
M(y/x)
/
y,
которые обладают следующими важными
свойствами:
1. Если коэффициент корреляции xy равен плюс или минус единице, xy = 1, то между X и Y существует функциональная линейная связь вида y = ax + b.
2. Если xy = 0, между X и Y не может существовать прямолинейной корреляционной связи, но криволинейная связь возможна.
3. Чем ближе xy к 1, тем точнее и теснее корреляционная прямолинейная связь между X и Y . Она ослабевает с приближением xy к нулю.
4. Если корреляционное отношение y =0, то между X и Y нет корреляционной связи.
5. Если y = 1, то Y функционально зависит от Х, т.е. всякому допустимому значению Х соответствует одно определенное значение Y.
6. Чем ближе y к единице, тем теснее связь между переменными X и Y.
7. Если y = xy , то между переменными существует только линейная связь.
Коэффициент
корреляции
xy
и корреляционное отношение
y
являются теоретическими параметрами.
Их эмпирическими аналогами или оценками
служат выборочный коэффициент корреляции
rxy
и выборочное корреляционное отношение
y.
Вычисление и анализ rxy
и
y
составляют основу первого этапа анализа
взаимосвязи между случайными величинами.
Этот этап носит название корреляционного
анализа. Затем проводится регрессионный
анализ, основная цель которого- определение
аналитического выражения взаимосвязи
между исследуемыми переменными, т.е.
уравнения регрессии.
7.3. Корреляционный анализ
Для вычисления коэффициента корреляции и корреляционного отношения предварительно составляются корреляционные таблицы. По характеру таблицы можно ориентировочно судить о наличии или отсутствии корреляционной связи между переменными. Например, по двум приведенным ниже таблицам можно сказать, что в первом случае такая связь может быть обнаружена, а во втором ее нет.
X
Y |
1
|
2 |
3 |
4 |
|
X
Y |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 2 3 4 5 |
1 2 1 - - |
- 1 2 1 - |
- - 1 2 1 |
- - - 1 2 |
|
1 2 3 4 5 |
1 1 1 1 1
|
3 3 3 3 3
|
3 3 3 3 3 |
1 1 1 1 1 |
Имея корреляционную таблицу, в каждой клетке которой указана частота некоторой пары значений Х и Y вычисляют величину Сxy:
Cxy
=
nxy(
x
-
)(
y
-
)/n.
Величина Cxy носит название ковариации X и Y . Частное от деления величины Cxy на произведение средних квадратических отклонений величин Sx и Sy представляет собой выборочный коэффициент корреляции:
rxy = Cxy / Sx Sy.
Для упрощения вычислений ковариации Cxy, а также Sx и Sy можно пользоваться следующими формулами:
Cxy = ( x nxy y)/ n - ;
Sx
=
;
Sy
=
;
где nx и my - частоты соответствующих значений x и y. Корреляционное отношение y вычисляется по формуле:
y
= S
/
Sy
;
где Sy - среднее квадратическое отклонение значений y от средней ,
S - среднее квадратическое отклонение значений частной средней x от общей средней , т.е.
S
=
.
Если на основании анализа коэффициента корреляции и корреляционного отношения установлено наличие прямолинейной корреляционной связи между Y и X, то эту связь можно выразить в виде следующего уравнения:
x - = ( rxy Sy / Sx )( x - ) = b ( x - ); (7.1)
где b = rxy Sy / Sx называется коэффициентом регрессии Y на X.
Уравнение (7.1) часто представляют в виде x = a + bx.
Если в результате расчета получено небольшое значение rxy, то может возникнуть вопрос, не случайно ли значение rxy отличается от нуля и не равен ли действительный коэффициент корреляции нулю. Этот вопрос разрешается сравнением численного значения rxy с Sr. Приближенно можно считать, что среднее квадратическое отклонение Sr коэффициента корреляции rxy численно равно
Sr
= (1
- r
)
/
.
Когда действительное значение коэффициента корреляции rxy равно нулю, то
Sr= 1 / .
Поэтому, если
| rxy | / Sr = | rxy | 3 ,
то можно считать rxy значащим, а связь реальной, если же
| rxy | < 3 ,
то можно предполагать, что линейная связь между переменными отсутствует, но возможна криволинейная.