3.1.2 Логічні функції однієї і двох змінних

Лекція 17. Логічні функції однієї і двох змінних.

Завдання на СРС. Приклади мінімізації логічних функцій, приведення до єдиного базису, побудови логічних схем за рівняннями алгебри логіки.

Література: 1, с.119-139; 2, с.100-105; 6, с.8-31.

Питання для самоконтролю:

1. Логічні функції однієї і двох змінних. Правила запису логічних функцій на основі таблиць істинності.

Кількість логічних функцій n змінних дорівнює . Складемо таблицю істинності для всіх чотирьох функцій однієї змінної а (див. табл. 3.1.2.).

Таблиця 3.1.2

а		f1	f2	f3	f4
0		0	0	1	1
1		0	1	0	1

1. Вираз для функції f₁, одержують, записавши її в СКНФ:

f₁ = а = 0.

Ця функція тотожно дорівнює нулю, незалежно від значення - змінної а, і називається нульовою.

2. Функція f₂ у СДНФ або СКНФ має вигляд:

f₂ = a

і називається повторенням а.

3. Функція

f₃ =

являє собою заперечення а (інверсію а).

4. Функція

f₄ = a + = 1

не залежить від значення а і називається одиничною. Одинична і нульова функції є сталими (константами).

Кількість функцій двох змінні

N = = 16.

Вони є основними функціями алгебри логіки. Складемо таблицю істинності для всіх 16 функцій двох змінних а і b (табл. 3.1.3).

Таблиця 3.1.3

a	b		f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15	f16
0	0		0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1		0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0		0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1		0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

1. Вираз функції f₁ у ДКНФ:

f1 = (а + b) (а + ) ( + b) ( + ).

Застосувавши теорему склеювання, одержують:

f₁ = а = 0

тобто функція f₁ тотожно дорівнює нулю і не залежить від значень змінних а і b. Це нульова функція.

2. Функція f₂ у ДДНФ:

f₂ = аb,

тобто є кон'юнкцією.

2. Функція f₃ у ДДНФ:

f₃ = а .

Ця функція називається заборона b і позначається в такий спосіб: f₃ = а b. Ця функція завжди дорівнює нулю при b = 1 і повторює значення а при b = 0.

2. Функція

f₄ = а + аb = а

являє собою повторення а і є фактично функцією однієї змінної.

2. Функція f₅ = b аналогічно функції f₃ називається заборона а і позначається f₅ = b а.

3. Функція

f₆ = b + ab = b

є функцією однієї змінної (повторення b).

2. Функція

f₇ = b + a .

Ця функція називається додаванням по модулю 2. Зустрічаються ще й такі назви цієї функції: непарність, нееквівалентність, нерівнозначність, виключаюче АБО, альтернатива. Для позначення функції використовується також символ М2. Функція приймає значення, рівне 1, тільки в тому випадку, якщо значення змінних а і b неоднакові, тобто а = 1, b = 0 або а = 0, b = 1.

2. Функція

f₈ = b + a + ab = a + b

є диз'юнкцією.

2. Функція

f₉ = =

називається стрілкою Пірса, а також інверсією диз'юнкції або функцією АБО — НІ. Позначається вона в такий спосіб: f₉ = а b. Ця функція рівна 1 тоді і тільки тоді, коли обидві змінні рівні 0.

2. Функція

f₁₀ = + аb

називається еквівалентністю і позначається як f₁₀ = а b. Її називають також рівнозначністю, а для позначення застосовують символ ~ . Ця функція рівна 1 тільки в тому випадку, якщо змінні а і b мають однакові значення, тобто коли а =0; b=0 або а = 1; b=1

2. Функція

f₁₁ = + a = ,

являє собою інверсію b, тобто є функцією однієї змінної.

2. Функція

f₁₂ = + b + ab = + ab = + а

називається імплікацією і позначається f₁₂ = b а. Функція f₁₂ дорівнює нулю тільки тоді, коли b = 1; а = 0.

2. Функція

f₁₃ = + b =

являє собою інверсію а і є функцією однієї змінної.

2. Функція

f₁₄ = + b + ab = + ab = + b

аналогічна функції f₁₂ і представляє імплікацію b f₁₄ = а b

2. Функція

f₁₅ = + b + a = + a = + = .

Ця функція називається штрих Шеффера, а також інверсією кон'юнкції, функцією І-НІ. Позначається вона в такий спосіб

2. Функція

f₁₆ = + b + a + a = + a = 1 тотожно рівна 1 і називається одиничною.

З 16 функцій двох змінних шість (f₁, f₄, f₆, f₁₁, f₁₃, f₁₆) уже зустрічалися серед функцій однієї змінної. З тих, що залишилися десяти функцій функції f₃ і f₅, а також функції f₁₄ і f₁₆ відрізняються тільки порядком розташування змінних. Отже, є тільки вісім оригінальних функцій двох змінні: диз'юнкція, кон'юнкція, заборона, рівнозначність, нерівнозначність, імплікація, стрілка Пірса і штрих Шеффера.

Лекція 18. Умовні графічні позначення елементів логічних пристроїв. Промислові серії логічних елементів.

Завдання на СРС. Вивчення складу, схемотехніки та особливостей застосування логічних елементів промислових серій.

Література: 1, с.119-139; 2, с.100-105; 6, с.8-31.

Питання для самоконтролю:

1. Функціонально повні набори логічних функцій. Приведення логічних функцій до єдиного базису (приклади).

2. Реалізація логічних функцій двох змінних на основі функціонально повних наборів (приклади).

3. Умовні позначення логічних елементів.

Умовні позначення логічних елементів, що реалізують логічні функції, установлені у Держстандарті 2.743-82 (див. табл. 3.1.4).

Кількість функцій трьох зміннх

N = = 256

досить велика і для них немає спеціальних позначень і назв. Ці функції можна виразити через основні логічні функцій - диз'юнкцію, кон'юнкцію і інверсію.

Найменування елемента	Реалізована функція	Позначення
Повторювач	Повторення а y = а
Інвертор (НІ)	Інверсія (заперечення) y =
Кон'юнктор	Кон'юнкція y =аb
Диз'юнктор	Диз'юнкція y = а + b
Елемент Шеффера І — НІ	Інверсія кон'юнкції (штрих Шеффера) y =
Елемент Пірса АБО — НІ	Інверсія диз'юнкції (стрілка Пірса) y =
Імплікатор	Імплікація y = + b
Заборона	Заборона y = b
Еквівалентність	Еквівалентність y = аb +
Нееквівалентність	Нееквівалентність y = а + b
Цифровий елемент затримки. Загальне позначення	—
Підсилювач	—
Підсилювач потужності (підсилювач із підвищеною навантажувальною здатністю)	—
Елемент із підвищеною навантажувальною здатністю, наприклад, І	—
Формувач сигналу	—
Граничний елемент	—