1.6 Методы реализации математических моделей

В зависимости от методов реализации различают аналитические и алгоритмические математические модели.

В аналитических математических моделях входные и выходные параметры связаны зависимостями в виде аналитических выражений. Частным случаем аналитических выражений являются алгебраические выражения, в которых используется конечное или счетное число арифметических операций, операций возведения в целочисленную степень и извлечения корня. Примеры алгебраических выражений:

, .

Часто аналитическое решение для модели представляют в элементарных или специальных функциях: показательных, логарифмических, тригонометрических, гиперболических и т.п. Для получения значений этих функций при конкретных значениях входных параметров используют их разложение в ряды (например, Тейлора). Так, показательная функция может быть представлена следующим рядом:

.

Учитывая различное число членов ряда, можно вычислять значение функции с различной степенью точности. Таким образом, значение функции при каждом значении аргумента определяется приближенно. Модели, использующие подобный прием, называются приближенными.

Знание аналитического выражения для искомых параметров позволяет исследовать фундаментальные свойства объекта, его качественное поведение, строить новые гипотезы о его внутренней структуре.

Например, уравнение (2) может служить не только для расчета силы резания, но и для его исследования. Так, с его помощью можно исследовать зависимость силы резания от глубины резания и подачи (рисунок 7).

Рисунок 7  Зависимость силы резания от глубины резания и подачи

Однако возможности аналитических методов существенно зависят от уровня развития соответствующих разделов математики, и в большинстве случаев их применение ограничено относительно несложными математическими моделями в узком диапазоне значений параметров.

Алгоритмические математические модели находят большее практическое применение. Обычно они позволяют получить лишь приближенные значения искомых параметров. Алгоритмические математические модели делят на численные и имитационные.

При численном моделировании совокупность исходных математических соотношений заменяется конечномерным аналогом. Это чаще всего достигается дискретизацией исходных соотношений, т.е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. Например, производную функции для малого приращения заменяют конечной разностью . После дискретизации исходной задачи выполняется построение вычислительного алгоритма, т.е. последовательности арифметических и логических действий, выполняемых на ЭВМ и позволяющих за конечное число шагов получить решение дискретной задачи. Найденное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи.

Степень приближения определяемых с помощью численного метода искомых параметров модели зависит:

- от погрешностей самого метода, связанных с заменой исходной модели ее дискретным аналогом;

- ошибок округления, возникающих при выполнении расчетов на ЭВМ и связанных с конечной точностью представления чисел в машинной памяти.

Основным требованием к вычислительному алгоритму является его сходимость, т.е. возможность получения решения исходной задачи с заданной точностью за конечное число шагов. Вопросами разработки и использования численных методов, а также построения на их основе вычислительных алгоритмов занимается отдельный самостоятельный предмет – вычислительная математика.

При имитационном моделировании на отдельные элементы разбивается сам объект исследования. В этом случае вместо определяющих математических соотношений создают некоторый алгоритм, моделирующий поведение объекта и учитывающий взаимодействие друг с другом составляющих его элементов.

Применение алгоритмических математических моделей допускает исследования систем произвольной сложности, но часто возможно лишь при наличии вычислительной техники.

Использование математической модели, построенной алгоритмическими методами, аналогично проведению экспериментов с реальным объектом, только вместо реального эксперимента с объектом проводится вычислительный эксперимент с его моделью [8]. Т.е., задаваясь конкретным набором значений исходных параметров модели, в результате вычислительного эксперимента находят конкретный набор приближенных значений искомых параметров. Общая схема вычислительного эксперимента показана на рисунке 8.

Рисунок 8– Схема вычислительного эксперимента

Под дискретной моделью на схеме (см. рисунок 8) понимается такая интерпретация математической модели, которая доступна для реализации на ЭВМ. В контексте современных программных средств, вычислительный алгоритм подразумевает использование как аналитических, так и численных методов. Первые обычно осваиваются при изучении математики. Их основное достоинство в том, что они позволяют получать решения в общем виде (в виде формулы). Наиболее типичный результат применения численного метода – это число или таблица чисел.

Рассматривая схему (см. рисунок 8), необходимо подчеркнуть, что алгоритмическая математическая модель всегда носит приближенный характер, что связано с упрощением и формализацией исходного явления. Но по отношению к дискретной модели математическая модель вносит еще некоторую погрешность, которая часто является неустранимой.