Глава 5 Математический аппарат алгоритмов компьютерной графики

В данной главе рассматриваются:

• некоторые определения аналитической геометрии;

• математический аппарат преобразований на плоскости.

Существенным недостатком текущей версии программы Painter является то, что она не позволяет редактировать рисунки. В настоящий момент мы можем только добавлять объекты в рисунок, но не имеем возможности от­крыть ранее созданный рисунок и изменить расположение объектов, их форму и цвет, порядок, в котором фигуры накладываются друг на друга, удалить лишние детали. Для того чтобы добавить в программу некоторые средства редактирования, нам потребуются несложные математические пре­образования, рассмотрению которых и посвящается данная глава.

5.1. Векторы

Вектор — направленный отрезок прямой.

Ниже будут использованы обозначения:

• P, Q — концевые точки отрезка;

• a, b, с — векторы;

• 0 — вектор с нулевой длиной;

• -а — вектор, длиной |a| направленный в сторону, противоположную а;

• p, т — вещественные числа;

• |a| — длина вектора, равная расстоянию между концевыми точками.

5.1.1. Свойства векторов

• При параллельном переносе вектор не изменяется (рис. 5.1).

• Сумма векторов тоже является вектором: a + b = с (рис. 5.2).

• Произведение pa — вектор длиной, равной \р\\а\, если p = 0 или a = 0, то pa = 0 (рис. 5.3);

  • если p > 0, результирующий вектор совпадает по направлению с а;

  • если p < 0, результирующий вектор имеет направление, противоположное а.

a =b

Рис. 5.1. Параллельный перенос векторов

а + b = с

Рис. 5.2. Сумма векторов

Рис. 5.3. Произведение векторов

Для векторов выполняются следующие правила:

• а + b = b + а;

• (а + b) + с = а + (b + с);

• a + 0 = a;

• a + (-а) = 0;

• р(а + b) = ра + рb;

• (р + m)а = ра + mа;

• 1а = а;

• 0а=0.

В прямоугольной системе координат направление осей задается тройкой перпендикулярных единичных векторов.

Система координат называется правой, если при повороте от вектора i к век­тору j на 90°, направление вектора k совпадает с поступательным движением винта с правой резьбой (рис. 5.4). Начальная точка векторов обозначается буквой О.

Рис. 5.4. Правая система координат

Любой вектор V может быть записан в виде линейной комбинации i, j, k: V= xi + yj + zk, где x, у, z — координаты конечной точки Р вектора V= ОР. Вектор V можно записать также в матричном виде:

5.1.2. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов а и b обозначается а • b и определяется так:

а • b = |a||b|cosγ, (5.1)

где γ – угол между a и b. Скалярное произведение это число p = а • b. Применяя выражение (5.1) к единичным векторам i, j, k, находим:

i • i = j • j= k • k = 1; i • j = j • i = j • k = k • j = k • i = i • k = 0. (5.2)

Свойства скалярного произведения:

• p(ma • b) = pm(a • b);

• (pa + mb) с = pa • с + mb • c;

• a • b = b • a;

• a • a = 0, если a = 0.

Скалярное произведение векторов a = [a₁, a₂, a₃] и b = [b₁, b₂, b₃]:

а • b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. (5.3)

Соотношение (5.3) следует из а • b = (a₁i + a₂j + a₃k) • (b₁i + b₂ j + b₃k) с учетом свойств скалярного произведения и соотношения (5.2).