ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Конспект лекций для студентов специальности 151001 «Технология машиностроения» всех форм обучения

Содержание

Содержание 2

1 Моделирование 3

1.1 Место моделирования в научном познании 3

1.2 Виды моделирования 5

1.3 Математическое моделирование 6

1.4 Системный подход к моделированию 9

1.5 Параметры математических моделей 12

1.6 Методы реализации математических моделей 14

1.7 Этапы построения математических моделей 17

1.8 Требования к математическим моделям 25

2 ТИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 27

2.1 Структурные модели 27

2.2 Теоретико-множественные модели 29

2.3 Модели формальных систем 32

2.4 Геометрическое моделирование 36

2.5 Функциональное моделирование 38

2.6 Обработка экспериментальных данных 40

2.7 Математические модели объектов на микроуровне 42

2.8 Математические модели на основе фундаментальных законов сохранения 44

2.9 Метод конечных элементов 46

2.10 Математические модели объектов на макроуровне 50

2.11 Моделирование нелинейных систем 51

2.12 Оптимизационные модели 54

2.13 Решение задачи линейного программирования 55

2.14 Моделирование в условиях неопределенности 58

2.15 Имитационное моделирование 60

2.16 Системы массового обслуживания 62

2.17 Клеточные автоматы 65

2.18 Модели теории игр 67

4 Вопросы для контроля 70

Литература 73

1 Моделирование

1.1 Место моделирования в научном познании

Термином «модель» (лат. modulus – мера) обычно обозначают объект, воспроизводящий строение или действие какого-либо другого объекта.

Моделированием называют два вида человеческой деятельности:

1) процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью;

2) проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте.

В системе международных стандартов ISO эти два вида деятельности соответственно определены английскими словами: modeling и simulation.

С процессом моделирования и различными моделями человек сталкивается на протяжении всей своей жизни. Так, в процессе игры моделируются формы, свойства и функции реально существующих объектов. В процессе обучения объекты и явления моделируются средствами естественного языка, с помощью макетов, лабораторных установок и пр. В процессе восприятия действительности складывающийся у человека мысленный образ объекта также является разновидностью модели последнего. В сущности, в восприятии человека весь окружающий мир – это лишь его описание. Поэтому можно утверждать, что в своей осознанной жизни человек имеет дело исключительно с моделями тех или иных реальных объектов, процессов, явлений [1]. Причем для различных людей эти модели часто оказываются различными.

В технике практически невозможно обойтись без моделирования. Чем более сложным и надежным должно быть техническое средство, тем большее число моделей (чертежей, схем, математических выкладок и др.) потребуется на этапе его проектирования. С другой стороны, любое реальное изделие можно рассматривать как материальную модель (аналог) придуманной авторами идеальной модели.

Методология науки относит моделирование к общенаучным методам, применяемым как на эмпирическом, так и на теоретическом уровне познания. Поэтому при построении и исследовании моделей могут применяться практически все методы теоретического и эмпирического характера (рисунок 1).

К основным целям научного моделирования относят:

1) изучение и прогнозирование сложных процессов и явлений;

2) определение возможности управления объектом при заданных целях и критериях.

В науке при разработке моделей важную роль играют гипотезы, т.е. определенные предположительные суждения о причинно-следст-венных связях явлений, основанные на наблюдениях и догадках.

Методы научного познания
Эмпирические: наблюдение, эксперимент, измерение	Теоретические: абстрагирование, идеализация, формализация, индукция, дедукция
Общие: анализ, синтез, аналогия, моделирование

Рисунок 1  Методы научного познания

Формулировка и проверка правильности гипотез обычно основана на аналогиях, т.е. на представлениях о каком-либо соответствии двух объектов. Существенность сходства или различия объектов условна и зависит от уровня абстрагирования, определяемого конечной целью исследования. Уровень абстрагирования, в свою очередь, зависит от набора исследуемых параметров объекта. Например, при изучении закономерностей проектирования технологических процессов механической обработки в качестве объектов исследования можно выделить несколько классов деталей: тела вращения, корпусные детали, детали сложной формы, рычаги и т.д. При добавлении учитываемых параметров, тела вращения можно подразделить на валы, втулки, фланцы, кулачки, зубчатые колеса и т.д. Уровень абстрагирования данного объекта всегда устанавливается по отношению к другим объектам.

Процедуры синтеза и анализ также характерны для моделирования. Синтез модели – это процесс ее создания. Анализ целей моделирования и конкретного варианта модели позволяет учесть только наиболее существенные для моделирования факторы. В связи с этим следует заметить, что любая модель нетождественна объекту-оригиналу и, следовательно, неполна. Например, пространственная модель детали, выполненная в системе геометрического моделирования, не может быть сколь угодно точной, т.к. реальная деталь всегда будет иметь отклонения от номинальных размеров, погрешности формы и расположения поверхностей, микронеровности и пр.

Однако если результаты моделирования удовлетворяют исследователя и могут служить основой для отражения свойств или прогнозирования поведения исследуемого объекта, то говорят, что модель адекватна. Понятно, что идеально адекватная модель принципиально невозможна.