1.3 Математическое моделирование

Математическое моделирование – это идеальное научное знаковое формальное моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических методов.

Математическое моделирование широко применяется в естественных науках. Например, практически все современные разделы физики (механика, теория тепломассообмена, электротехника и др.) посвящены построению и исследованию математических моделей различных физических объектов и явлений. Математизация конкретных технических дисциплин позволяет:

1) единообразно описывать (формализовать) широкий круг фактов и наблюдений;

2) проводить количественный анализ (исследовать);

3) предсказывать поведение системы в различных условиях (прогнозировать).

В зависимости от целей математического моделирования выделяют дескриптивные, оптимизационные и управленческие модели.

Целью дескриптивных моделей является установление законов изменения параметров модели, например, в виде уравнения.

Оптимизационные модели предназначены для определения оптимальных (наилучших) с точки зрения некоторого критерия (стоимости, надежности, производительности, жесткости и др.) параметров моделируемого объекта или же для поиска оптимального режима управления некоторым процессом.

Управленческие модели применяются для принятия эффективных управленческих решений в различных областях целенаправленной деятельности человека. На практике под принятием решений обычно понимается выбор некоторых альтернатив из заданного их множества, а общий процесс принятия решений представляется как последовательность таких выборов альтернатив.

В современных исследованиях и проектах в области машиностроения математическое моделирование служит для изучения производственных систем (производственных объектов, процессов и явлений), поддержки научных разработок, обеспечения процедур автоматизированного проектирования и т.д.

Следует отметить основные преимущества математического моделирования по сравнению с натурными исследованиями:

- значительно меньшая материало- и энергоемкость (сбережение ресурсов);

- возможность исследования гипотетических (не реализованных в природе) объектов;

- возможность исследования критических режимов функционирования объекта (опасных, трудновоспроизводимых или чреватых разрушением дорогостоящей техники);

- возможность изменения хода (масштаба) времени;

- сокращение сроков на подготовку и анализ данных;

- возможность многоаспектного анализа, изучение объектов в достаточной полноте;

- возможность выявления общих закономерностей и составления прогнозов;

- использование результатов в работе специального технического и программного обеспечения.

«Чистая» и прикладная математика предлагает различные определения математической модели. С точки зрения «чистой» математики математическая модель – это множество абстрактных, символьных математических объектов (таких как числа, переменные, векторы, матрицы, множества, точки, отрезки, прямые и т.д.) и отношений между ними (правил, связывающих два и более символьных объекта).

Для «чистой» математики характерен больший формализм, оперирование абстрактными понятиями, что, с одной стороны, можно считать недостатком, а с другой – положительным качеством, повышающим общность определения модели, делающим ее применимой к объектам различной природы.

Для прикладной математики характерна меньшая оторванность от реальности, поскольку математические соотношения связывают не просто абстрактные математические объекты, а вполне конкретные параметры объектов реальных. С точки зрения прикладной математики математическая модель – это некоторый оператор , позволяющий по соответствующим значениям входных параметров установить значения выходных параметров объекта моделирования:

, , ,

(1)

где и – соответственно множества допустимых значений входных и выходных параметров, элементами которых могут быть любые математические объекты (числа, матрицы, функции, множества и т.д.), в зависимости от природы исследуемого объекта.

Понятие оператора также может трактоваться достаточно широко. Это может быть некоторая функция, схема, алгоритм, система уравнений, совокупность правил и другое, т.е. то, что обеспечивает нахождение выходных параметров по заданным исходным значениям входных параметров.

Вид, состав и сложность конкретной математической модели зависит от того, какой объект она описывает и для каких целей разработана. Однако построение математических моделей многих элементов технических систем упрощается благодаря использованию типовых моделей [3-5]. Например, при описании геометрии объекта можно воспользоваться уравнениями линий и поверхностей. В то же время существуют задачи, требующие изучения закономерностей процессов и явлений, связанных с моделируемым объектом, выделения существенных факторов, принятия различного рода допущений и их обоснования, математической интерпретации имеющихся сведений и т.п. Построение математической модели в этом случае является творческим процессом и требует специальной подготовки как в соответствующих предметных областях, так и в вопросах математики.

Существует большое число классификаций математических моделей, однако, учитывая большое число возможных классификационных признаков и субъективность их выбора, каждую из них следует считать условной.