2.6 Обработка экспериментальных данных

При эмпирическом (экспериментальном) изучении различных функциональных зависимостей исследователю обычно приходится иметь дело с большими массивами чисел, которые часто могут быть представлены в табличном виде (таблица 3) или точками на графике (рисунок 19).

Таблица 3 – Пример табличной зависимости двух переменных

x	x1	x2	…	xk		xn
у(х)	y1	y1	…	yk		yn

Особое место в математической обработке данных такого рода занимают два описываемые в данной работе подхода аппроксимации (приближения), рассматриваемые на примерах функции с одной независимой переменной [4].

Рисунок 19 – Аппроксимация табличных точек линиями

Если для иллюстрации рассуждений обратиться к рисунку 19, то можно сказать:

• при первом подходе требуют, чтобы приближенная функциональная кривая проходила через все точки, заданные таблицей;

• при втором подходе данные приближаются кривой, необязательно проходящей через все точки, но так, чтобы отклонения от точек, заданных таблицей, были минимальными.

В итоге выполнения аппроксимации должна получиться формула, позволяющая прогнозировать значение функции в некоторой промежуточной точке таблицы, а иногда и вне самой таблицы.

Интерполяция обеспечивает первый подход к аппроксимации данных. Простейшим видом интерполяции является линейная интерполяция, в основе которой лежит аппроксимация табличной функции на участке между точками и линейной зависимостью. Уравнение такой зависимости можно представить в виде:

.

Таким образом, зная два соседних табличных значения, с помощью указанной формулы можно судить о предположительном значении функции при любом значении в интервале от до .

Обычно полагают, что, используя большее количество табличных значений и аппроксимируя табличную функцию более сложной зависимостью, можно уточнить полученный результат.

Метод наименьших квадратов – пример реализации второго подхода к аппроксимации табличных данных. Рассмотрим идею этого метода в случае линейной зависимости двух величин.

Пусть требуется установить формальную зависимость между двумя величинами и (например, временем резания и износом инструмента) по результатам измерений, сведенных в таблицу3.

Будем рассматривать и как прямоугольные координаты точек на плоскости. Предположим, что эти точки, группируются вдоль некоторой прямой линии, как показано на рисунке 19. Естественно в этом случае считать, что между и существует приближенная линейная зависимость, т. е.

.

(9)

Назовем уклонением разность между точным значением функции (1) в точке и соответствующим значением из таблицы 3:

.

Сумма квадратов уклонений является функцией величин и :

.

(10)

Минимальными уклонениями будут такие, при которых функция (10) достигнет минимума. Условие минимума определяется равенством нулю частных производных:

Отсюда получаем систему уравнений, решая которую можно найти коэффициенты и линейной зависимости:

(11)

Пусть имеем результаты измерения зависимости величины от (таблица 4).

Таблица 4 – Результаты измерений

х	-2	0	1	2	4
у	0,5	1	1,5	2	3

Предполагая, что таблица описывает линейную зависимость вида (9), определим коэффициенты и этой зависимости.

Вычислим коэффициенты системы (11):

Система (10) принимает вид:

Решая ее, получим . Поэтому искомая зависимость:

.