2.15 Имитационное моделирование

Имитационное моделирование применяется в случаях, когда изучаемые процессы имеют явно нелинейный характер и при этом осложнены разного рода вероятностными характеристиками. Как правило, имитационная модель с помощью алгоритмов на ЭВМ реализует некоторый случайный процесс.

Случайным процессом называют случайную величину, рассматриваемую как функцию от времени.

Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. В реальных условиях практически любой процесс можно считать марковским, если все параметры из «прошлого», от которых зависит «будущее», включить в «настоящее». Наиболее простыми являются марковские случайные процессы с дискретными состояниями или непрерывным временем.

Марковский процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния можно заранее перечислить (перенумеровать) и переход системы из одного состояния в другое происходит «скачком», практически мгновенно. Например, станок может находиться в трех состояниях: включенном, выключенном и в состоянии поломки. Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны, т.е. если переход может осуществиться в принципе в любой момент. Если процесс марковский и моменты возможных переходов из состояния в состояние фиксированы, то процесс с дискретным временем называют марковской цепью.

В математике марковской цепью называют последовательность случайных величин, для которых вероятность появления того или иного значения на -м шагу зависит лишь от того, какое значение эта величина приняла на -м шагу и не зависит от значений величины на предыдущих шагах.

Потоком событий называется последовательность однотипных ситуаций, следующих одна за другой в какие-либо случайные моменты времени. Например, появление брака.

Интенсивностью потока называют среднее число (математическое ожидание) событий, приходящееся на единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени.

Стационарным называется поток, интенсивность которого постоянна (не зависит от времени).

Отсутствие последействия означает, что число событий, произошедших в системе до момента , не определяет того, сколько событий произойдет в системе за промежуток времени от до . Например, если на станке в данный момент произошла поломка инструмента и она устранена, то это не определяет, произойдет новая поломка на данном станке в следующий момент или нет, тем более это не влияет на вероятность возникновения поломки инструмента на других станках.

Ординарность потока означает практическую невозможность одновременного наступления двух и более событий. Например, достаточно малой является вероятность того, что из группы станков, обслуживаемых бригадой ремонтников, одновременно выйдут из строя сразу несколько станков.

Поток событий, обладающий сразу тремя свойствами: ординарности, стационарности и отсутствием последействия, называется простейшим.

Для простейшего потока событий частота их наступления подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность того, что за время произойдет ровно событий, задается формулой:

. (27)

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях математические модели марковских процессов, в которых поток событий является простейшим.