2.10 Математические модели объектов на макроуровне
На макроуровне объект моделирования рассматривается как система с сосредоточенными параметрами. Соответствующую математическую модель можно получить путем дискретизации распределенных моделей микроуровня – выделения из сплошной среды дискретных элементов с постоянными усредненными параметрами.
Математическая модель динамической системы с сосредоточенными параметрами – система обыкновенных дифференциальных уравнений вида:
,
где
–
вектор фазовых переменных;
– независимая
переменная (время)
Математической
моделью статических состояний (при
)
является система алгебраических
уравнений:
.
Различают фазовые переменные двух типов:
1) фазовые переменные типа потенциала (across quantity – по международному стандарту) – электрическое напряжение, давление и механическое напряжение, скорости в механических системах
2) фазовые переменные типа потока (trough quantity) – электрический ток, сила и деформации в механике и др.
Дискретный элемент в общем случае обладает инерционными, упругими и диссипативными свойствами.
Свойство инерционности позволяет объекту накапливать кинетическую энергию. Инерционные элементы моделируются с помощью так называемых сосредоточенных масс. Количество выделяемых сосредоточенных масс в динамической модели равно числу ее степеней свободы.
Упругие свойства позволяют объекту накапливать потенциальную энергию.
Диссипативные свойства характеризуют способность объекта рассеивать энергию (обычно за счет сил внутреннего трения).
Исходными для формирования математических моделей систем на макроуровне являются компонентные и топологические уравнения, которые отражают разнообразные физические свойства в системах различной природы.
Компонентными называют уравнения, описывающие свойства отдельных элементов (компонентов) системы:
для инерционного элемента
|
(22) |
;для диссипативного элемента
|
(23)
|
;для упругого элемента
|
(24) |
.
В
уравнениях (22)-(24) приняты следующие
обозначения:
,
,
–
характеристики инерционных, диссипативных
и упругих свойств соответственно;
–
фазовая переменная типа потока;
–
фазовая переменная типа потенциала.
Индексы при переменных
и
указывают на принадлежность их
соответствующим элементам.
Топологические уравнения описывают взаимосвязи элементов в составе моделируемой системы. Для фазовых переменных типа потенциала топологические уравнения выражают условия равновесия
,
а для фазовых переменных типа потока – условия непрерывности
.
Форма компонентных и топологических уравнений одинакова для систем различной физической природы, что, в частности, позволяет говорить о существовании аналогий для механических поступательных, механических вращательных, электрических, гидравлических, пневматических, тепловых объектов.
Математические модели топологических и компонентных уравнений можно представить в графической форме, в частности, в виде эквивалентных схем. На рисунке 23 представлены некоторые условные обозначения эквивалентных схем.
Рисунок 23 – Условные обозначения эквивалентных схем