2.11 Моделирование нелинейных систем

В зависимости от оператора модели различают модели линейные и нелинейные.

В линейных математических моделях оператор обеспечивает линейную зависимость выходных параметров от значений входных параметров . Графической иллюстрацией линейной математической модели с одним независимым параметром может служить прямая линия. Линейные модели подходят для анализа простых объектов. Для них характерно действие принципа суперпозиции, который составляют два условия:

1) результат операции не зависит от последовательности аргументов, т.е. ;

2) постоянный множитель может быть вынесен за знак операции (оператор), т.е. .

Пример линейной зависимости: при удвоении внешних сил, удваиваются результирующие перемещения и внутренние напряжения.

Для нелинейных моделей отклик на изменение какого-либо входного параметра может быть непропорционален изменению этого параметра. Математические операции называются нелинейными, если хотя бы одно условие принципа суперпозиции не выполняется. Например, операция возведения в квадрат является нелинейной, т.к. за знак операции выносится не постоянный множитель, а его величина в квадрате (несоответствие второму условию):

.

На рисунке 24 даны графики некоторых типов нелинейностей для функции одной переменной: непрерывные (а, б – гладкие; в, г, д, и, к – с изломами); с разрывами первого рода (е, ж); симметричные (а, г, е-к); несимметричные (б, в, д); однозначные (а-ж); неоднозначные (и, к).

Системам и большинству реальных процессов, как правило, присуще нелинейное многовариантное поведение. В зависимости от степени влияния на качественные результаты моделирования все нелинейности разделяют на две группы: несущественные и существенные. К первой группе относятся такие нелинейности, характеристики которых можно заменить линейными зависимостями без заметной потери точности результатов моделирования. Математические модели таких нелинейностей представляют собой непрерывные гладкие функции. Линеаризацию их осуществляют, например, разложением в ряд Тейлора, сохраняя при этом только линейные члены ряда.

Существенные нелинейности обычно описываются разрывными и неоднозначными функциями или функциями, имеющими изломы, а также непрерывными функциями с большой кривизной в исследуемой области изменения аргумента. Существенные нелинейности, как правило, не подлежат линеаризации, т.к. это может привести к недопустимому искажению результатов моделирования, их анализ осуществляется с использованием ЭВМ.

Нелинейными свойствами обычно обладают инерционные, упругие и диссипативные элементы технических систем. При этом нелинейность элемента может быть обусловлена зависимостью его параметра от фазовых переменных типа потока или типа потенциала или же нелинейной зависимостью между фазовыми переменными, характеризующими состояние элемента.

а) б) в) г) д) е) ж) и) к)

Рисунок 24 – Виды нелинейных характеристик

2.12 Оптимизационные модели

Обеспечение всякого производства включает организацию и управление, проектирование изделий, разработку техпроцессов. Во всех этих составляющих производства объективно присутствует одна из двух задач оптимизации:

- сделать изделие с заданными свойствами минимальной стоимости;

- сделать изделие заданной стоимости с максимальными (наилучшими) свойствами.

Неверное решение таких задач приводит к излишней трате ресурсов (финансовых, материальных, трудовых).

С математической точки зрения многие задачи оптимизации сводятся к отысканию экстремума (наименьшего или наибольшего значения) некоторой функции , которую принято называть целевой функцией или критерием качества:

,

(25)

где – внутренние параметры математической модели объекта, подлежащие оптимизации.

Если в задаче присутствует только одна целевая функция, ее называют задачей безусловной оптимизации.

В случае, когда целевая функция задается явной формулой и является дифференцируемой, для поиска оптимального решения может быть использована производная (условия экстремума функции).

В общем случае к критическим точкам функции (в которых производная равна нулю) также присоединяют граничные точки (границы отрезка, в котором определена независимая переменная) и во всех этих точках сравнивают значение функции. Наименьшее и наибольшее из них дадут наименьшее и наибольшее значение функции для всего отрезка.

В простейших случаях нули производной удается найти аналитически, иначе используют численные (приближенные) методы.

Кроме того, основная масса реальных задач оптимизации, представляющих практический интерес, являются многомерными: в них целевая функция зависит от нескольких аргументов. Математическая постановка таких задач аналогична их постановке в одномерном случае: поиск экстремума целевой функции, заданной на множестве возможных значений ее аргументов. Точно так же целевая функция может быть задана аналитической формулой, тогда вычисляются ее частные производные и находится выражение для градиента, определяющего в каждой точке направления возрастания и убывания функции. В других функция может быть задана таблично (в конечном числе точек), и по этой информации требуется приближенно установить ее экстремальное значение для всей области определения.

Многомерные задачи, как правило, являются более сложными, а их решение – более трудоемким; для их анализа разработаны специальные методы, например, метод градиентного спуска, метод наискорейшего спуска и др.

Задачами условной оптимизации называют такие задачи, когда кроме целевой функции (25) задаются некоторые дополнительные условия, которые должны быть выполнены: граничные условия и ограничения. Граничные условия показывают предельно допустимые значения искомых переменных:

.

(26)

Формулы ограничений связывают переменные между собой и могут быть определены в виде равенств или неравенств, например

.

(27)

Значения переменных, удовлетворяющие граничным условиям (26) и ограничениям (27), называют допустимым решением задачи. Оптимальное решение – есть наилучшее решение не во всех отношениях, а лишь с точки зрения принятого критерия.

Решением задач условной оптимизации занимается специальный раздел математики – математическое программирование. Если функции (25) и (27) нелинейные, рассматриваемая задача условной оптимизации относится к задачам нелинейного программирования, если же они линейны, то это задача линейного программирования.

Для построения математической модели оптимизации технологических процессов и операций в качестве целевой функции (критерия оценки) используют минимальную себестоимость или максимальную производительность изготовления изделия. Далее выделяют технические ограничения, которые в наибольшей степени влияют на оценочную функцию. В частности, на содержание операций и технологических процессов машиностроения оказывают влияния свойства изделия и производственной системы, разнообразные по своей природе – геометрические, физические, химические, технико-экономические и т.д. Основными являются три группы систем ограничений:

1) учитывающие требования по качеству изделия (точности размеров и формы, взаимного расположения, шероховатости и др.);

2) учитывающие условия обработки (характеристики станка, инструмента, приспособления);

3) учитывающие технологические правила при построении операций (структура и содержание операции).

Формулы технических ограничений строятся на основе известных или вновь разработанных теоретических или экспериментальных зависимостей.