2.18 Модели теории игр

Теория игр является математической теорией решения задач, возникающих при изучении конфликтных ситуаций, т.е. ситуаций, в которых сталкиваются поведения двух и более противоборствующих сторон. Решение подобных задач требует полной определенности в формулировании их условий (правил игры); установления количества игроков (участников конфликта) и выявления их возможных стратегий поведения; анализ возможных выигрышей (исходов игры).

Важными являются понятия: оптимальная стратегия, цена игры, средний выигрыш. Эти понятия находят отражение в определении решения игры: стратегии и первого и второго игрока соответственно называются их оптимальными стратегиями, а число  ценой игры, если для любых стратегий первого игрока и любых стратегий второго игрока выполняются неравенства

, (38)

где означает математическое ожидание выигрыша (средней выигрыш) первого игрока, если первым и вторым игроками избраны соответственно стратегии и .

Из неравенств (38) следует, в частности, что , т.е. цена игры равна математическому ожиданию выигрыша первого игрока, если оба игрока изберут оптимальные для себя стратегии.

В антагонистических играх (играх с нулевой суммой) выигрыш одного из игроков в точности равен проигрышу другого, взятому с противоположным знаком.

В играх с полной информацией каждому из игроков известны все действия противника. Такие игры, как правило, имеют седловую точку (точку равновесия). Это означает, что достижение компромисса является выгодным для каждой из противоборствующих сторон.

Если в процессе игры игрок применяет попеременно (случайным образом) несколько стратегий, то такая стратегия называется смешанной, а ее элементы – чистыми стратегиями.

Во многих игровых задачах имеется неопределенность, вызванная не сознательным противодействием противника, а недостаточной осведомленностью об условиях, в которых действуют стороны. Таковы, например, игры с природой. При оценке решения подобных задач используют ряд специальных критериев: критерий Сэвиджа, критерий Вальда, критерий Гурвица и др.

На промышленных предприятиях теория игр может применяться для поиска оптимальных решений, например, при выборе объектов для производства, или при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, когда противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, гарантирующих бесперебойную работу производства, и сокращения запасов в целях минимизации затрат на их хранение и др.

Рассмотрим пример.

Пусть некоторое предприятие выпускает обогреватели средней и малой мощности. Предполагается, что сбыт продукции зависит от состояния погоды. По данным прошлых наблюдений предприятие в условиях «теплой» зимы может реализовать 600 обогревателей средней мощности и 1975 обогревателей малой мощности, а в условиях «холодной» зимы – 1000 и 625 соответственно. Затраты на изготовление единицы продукции и цена реализации указаны в таблице 8.

Таблица 8 – Данные по затратам и цены реализации

Обогреватели	Затраты на производство, у.е.	Цена реализации, у.е.
Средней мощности	27	48
Малой мощности	8	16

Необходимо максимизировать среднюю величину прибыли от реализации выпущенной продукции с учетом неопределенности погоды, т.е. определить оптимальную стратегию поведения предприятия.

Будем рассматривать предприятие как игрока, располагающего двумя чистыми стратегиями: стратегия – в расчете на теплую погоду, стратегия – в расчете на холодную погоду. Природу будем рассматривать как второго игрока, также располагающего двумя чистыми стратегиями: стратегия – холодная погода, стратегия – теплая погода.

Определим ожидаемый доход предприятия в случае совпадения различных вариантов чистых стратегий:

у.е.,

у.е.,

у.е.,

Результаты сведены в таблицу 9, называемую платежной матрицей.

Таблица 9 – Платежная матрица

Стратегии
	6800	28400
	26000	6800

Из таблицы 9 видно, что первый игрок (предприятие) никогда не получит доход меньше 680 у.е. Но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то доход (выигрыш) составит 26 000 или 28 400 у.е. Естественно предположить, что в случае неопределенности поведения природы предприятию необходимо найти смешанную стратегию поведения, оптимизация которой позволит получать среднее значение выигрыша независимо от стратегии второго игрока.

Обозначим – долю применения первым игроком чистой стратегии , тогда доля применения им стратегии будет . В случае оптимальной смешанной стратегии предприятие при любом поведении природы получит одинаковый средний доход. Отсюда уравнение:

,

решая которое получим , .

Следовательно, предприятие, применяя чистые стратегии и в соотношении , будет иметь оптимальную смешанную стратегию, обеспечивающую ему в любом случае средний доход в сумме:

у.е.

Определим количество обогревателей обоих типов, которое должно выпускать предприятие, придерживаясь оптимальной стратегии. Количество обогревателей средней мощности:

штук.

Количество обогревателей малой мощности:

штук.