2.8 Математические модели на основе фундаментальных законов сохранения

Фундаментальные физические законы сохранения имеют универсальный характер. Все физические явления подчинены одним и тем же законам сохранения. Некоторые законы сохранения верны лишь приблизительно, но иногда оказываются полезными в частном случае.

Формально, закон сохранения означает, что существует число, которое остается постоянным вне зависимости от того, когда оно будет подсчитано – в данный момент или через некоторое время.

Общая формулировка закона сохранения: изменение во времени некоторой субстанции в элементарном объеме равно сумме притока-стока этой субстанции через его поверхность с учетом скорости генерации или уничтожения субстанции в этом объеме.

Уравнение, соответствующее данной формулировке, имеет вид:

,

(13)

где – фазовая переменная (координата), выражающая субстанцию;

– вектор плотности потока фазовой переменной;

– дивергенция вектора ;

– скорость генерации или уничтожения субстанции.

В трехмерном случае

,

^.

Дивергенция вектора плотности потока характеризует сумму притока-стока субстанции через поверхность элементарного объема. В качестве субстанции в различных физических законах выступают: масса, энергия, количество движения и др.

Уравнение закона сохранения массы (в гидроаэродинамике – уравнение неразрывности):

,

(14)

где – плотность массы, кг/м³;

– вектор плотности потока массы;

– вектор скорости переноса массы.

Уравнение закона сохранения энергии:

,

(15)

где – полная энергия единицы массы;

 внутренняя энергия единицы массы;

– энергия единицы объема, Дж/м³;

– вектор плотности потока энергии;

– скорость генерации или поглощения энергии в единице объема, Дж/(м³с).

Уравнение закона сохранения количества движения используют для моделирования движения потока жидкости. Для потока идеальной жидкости (без учета сил трения, обусловленных вязкостью) уравнение имеет вид:

,

(16)

где – вектор количества движения единицы объема жидкости;

– давление жидкости;

– градиент давления.

В трехмерном случае

.

При учете массовых сил и сил трения уравнение закона сохранения количества движения имеет вид (уравнение Навье – Стокса):

,

(17)

где – напряженность поля массовых сил;

– динамическая вязкость;

– оператор Лапласа.

Уравнения типа (13)-(17) относятся к классу уравнений в частных производных. Для их решения используются два различных подхода: аналитический и численный. Аналитический подход способствует получению решения в виде формулы общего характера, однако применимость его ограничена простыми геометрическими формами объекта исследования и несложными граничными условиями. При численном подходе исходная область определения покрывается сеткой узлов, непрерывная математическая модель заменяется дискретной, а затем уже с помощью какого-либо вычислительного алгоритма определяются приближенные числовые значения искомых переменных в узлах расчетной сетки.

Среди численных (сеточных) методов в профессиональных средствах автоматизации инженерного анализа (в CAE-системах) наибольшее распространение получили: метод конечных разностей, метод конечных элементов, методы граничных интегральных уравнений.