3.4 Начисление процентов за дробное число лет

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заклю­чаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться по формуле:

• по схеме сложных процентов:

FV = PV (1+ k)^n+f, (4)

где f – дробная часть года.

Пример

Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс. руб. на 30 месяцев под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

По формуле (4): FV = 10 (1+ 0,3)^2+0,5= 19,269 тыс. руб.

3.5 Эффективная и номинальная ставка процентов

Если про­центы начисляются и присоединяются не по истечении года, а чаще (т раз в году), то имеет место внутригодовая капитализация процен­тов. Наращение идет быстрее, чем при разовой капитализации. Ставку j называют номинальной.

Введем новое понятие – эффективная ставка процентов. Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.

Обозначим эффективную процентную ставку через i. По определению множители наращения по двум ставкам (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу:

(1+i)ⁿ = ^mn.

Из равенства множителей наращения следует:

i = ^m – 1 (5)

Пример.

Каков размер эффективной ставки, если номинальная ставка ранва 25% при помесячном начислении процентов?

i = ¹² – 1 = 0,280732

Для участвующих в сделке сторон безразлично применить ставку 25% при помесячном начислении процентов или годовую (эффективную) ставку 28,07 %.

3.6 Виды денежных потоков

Одним из основных элементов финансового анализа является оценка денежного потока С₁, С₂,..., С_n, генерируемого в течение ряда временных периодов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов. Элементы потока С_i могут быть либо независимыми, либо связанными между собой опре­деленным алгоритмом. Временные периоды чаще всего предполага­ются равными. Хотя данное условие в принципе не является обяза­тельным, в дальнейшем мы будем придерживаться его. Кроме того, для простоты изложения материала предполагается, что элементы денежного потока являются однонаправленными, т.е. нет чередова­ния оттоков и притоков денежных средств. Также считается, что гене­рируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т.е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ. В пер­вом случае поток называется потоком пренумерандо, или авансовым, во втором — потоком постнумерандо (рис. 3.2).

C₁ C₂ C₃ C₄ C₅

Поток пренумерандо

0 1 2 3 4

C₁ C₂ C₃ C₄ C₅

Поток постнумерандо

0 1 2 3 4 5

Рис

Рис 3.2. Виды денежных потоков.

3.7 Оценка денежного потока с неравными поступлениями

Пусть C₁, С₂, … , С_n — денежный поток; k — ставка дисконти­рования. Поток, все элементы которого с помощью дисконтирующих множителей приведены к одному моменту времени, а именно к на­стоящему моменту, называется приведенным. Требуется найти сто­имость данного денежного потока с позиции будущего и с позиции настоящего.

Оценка потока постнумерандо

Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на конец периода п, когда реализуется схема наращения, которую можно представить следующим образом (рис. 3.3).

Таким образом, на первое денежное поступление С₁ начисляются сложные проценты за (п - 1) период, и оно в конце п-го периода станет равным C₁(1+k)^n-1. На второе денежное поступление С₂ начисляются сложные проценты за (п-2) периода, и оно станет рав­ным C₂(1+k)^n-2 и т.д. На предпоследнее денежное поступление C_n-1 проценты начисляются за один период, и оно будет в конце n-го периода равно C_n-1(1+k). Естественно, на С_n проценты не начисляются.

Рис 3.3. Логика решения прямой задачи для потока постнумерандо.

Таким образом, будущая стоимость исходного денежного потока постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных поступлений, т.е. получаем формулу:

FV_pst = (1+k)^n-i (6)

Обратная задача подразумевает оценку с позиции текущего мо­мента, т.е. на конец периода 0. В этом случае реализуется схема дис­контирования, а расчеты необходимо вести по приведенному потоку. Элементы приведенного денежного потока уже можно суммировать; их сумма характеризует приведенную, или текущую, стоимость де­нежного потока, которую при необходимости можно сравнивать с величиной первоначальной инвестиции. Схема дисконтирования для исходного потока постнумерандо имеет следующий вид (рис. 3.4).

Рис 3.4. Логика решения обратной задачи для потока постнумерандо

Приведенная стоимость денежного потока постнумерандо PV_pst в общем случае может быть рассчитана по формуле:

PV_pst = . (7)

Пример.

Рассчитать приведенную стоимость денежного потока постнуме­рандо (тыс. руб.): 12, 15, 9, 25, если ставка дисконтирования k - 12%.

Год	Денежный поток (тыс. руб.)	Дисконтирующий множитель при k=12%	Приведенный поток (тыс. руб.)
1 2 3 4	12 15 9 25	0,8929 0,7972 0,7118 0,6355	10,71 11,96 6,41 15,89
	61		44,97

Оценка потока пренумерандо

Логика оценки денежного потока в этом случае аналогична выше­описанной; некоторое расхождение в вычислительных формулах объяс­няется сдвигом элементов потока к началу соответствующих подын­тервалов. Для прямой задачи схема наращения будет выглядеть следу­ющим образом (рис. 3.5).

Следовательно, будущая стоимость исходного денежного потока пренумерандо FV_pre в общем виде может быть рассчитана по формуле:

FV_pre = (1+k)ⁿ (8)

Очевидно, что FV_pre = FVpst(1 + k).

Рис 3.5. Логика решения прямой задачи для потока пренумерандо

Для обратной задачи схема дисконтирования может быть представ­лена следующим образом (рис. 3.6).

Рис 3.6. Логика решения обратной задачи для потока пренумерандо.

Следовательно, приведенная стоимость потока пренумерандо PV_pre в общем виде может быть рассчитана по формуле:

PV_pre = (9)

Как и в случае с будущей стоимостью, очевидно, что PV_pre = PV_pst х(1+k). Так, если в предыдущей задаче предположить, что исходный поток представляет собой поток пренумерандо, то его приведенная стоимость будет равна:

PV _pre = PV_pst ·(1 + k) = 44,97 · 1,12 = 50,37 тыс. руб.