Общий вывод устойчивости сар

САР будет устойчива, если корни характеристического уравнения и вещественные части будут отрицательны.

Е сли хотя бы один корень или вещественная часть корня положительны, то система неустойчива. Наличие чисто мнимых корней или нулевого корня выводит систему на границу устойчивости.

Поскольку решение алгебраических уравнений выше второго порядка затруднительно, были разработаны критерии устойчивости, позволяющие не решая характеристического уравнения определить устойчивость системы. Кроме того, критерии устойчивости позволяют найти крити­ческое значение отдельных параметров системы, т.е. такие, при которых система выходит на границу устойчивости.

Критерий устойчивости

1. Алгебраические: Рауса; Гурвица; Вышнеградского;

2. Частотные: Михайлова; Найквиста.

Алгебраические критерии устойчивости.

1. Критерий Рауса.

Смысл сводится к составлению таблицы Рауса, которая составляется из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы.

№	Вспомог. ко­эф-ты	1	2	3	4
1		c11 = a0	c12 = a2	c13 = a4	c14 = a6
2		c21 = a1	c22 = a3	c23 = a5	с24 = а7
3	λ1=c11/ c21	c31 = c12-λ1c22	c32 = c13-λ1c23	с33 = c14	0
4	λ2=c21/ c31	с41 = c22-λ2c32	с42 = c23-λ2c33	с43 = с24	0

Число строк таблицы Рауса равно n+1.

Формулировка: замкнутая САР будет устойчива, если коэффициенты первого столбца таблицы Рауса будут больше нуля, т.е.

c₁₁ > 0, c₂₁ > 0, … , c₃₁ > 0.

Наличие в первом столбце коэффициента меньше нуля говорит о том, что система неустойчива.

Число переменных знаков в первом столбце равно числу правых корней, т.е. в правой полуплоскости.

Критический коэффициент усиления – это коэффициент, при котором система находится на границе устойчивости.

Он получается из: с_n+1 = 0 = К_кр  условие нахождения системы на границе устойчивости.

2. Критерий устойчивости Гурвица.

Разработан в 1895 году.

Смысл критерия сводится к составлению определенным образом определителей Гурвица из коэффици­ентов характеристического уравнения замкнутой системы.

Составляем определитель n-го порядка:

На главной диагонали стоят коэффициенты характеристического уравнения Места под диагональю занимают коэффициенты с убывающими индексами. Места под главной диагональю заполняются коэффициентами с возрастающим индексом.

Формулировка: для того, чтобы САР была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица с ₁ до _n были больше нуля при а₀>0 т.е.

Е

сли хотя бы один определитель Гурвица меньше 0, то система неустойчива.

Если _n=a_n_n-1=0, то система находится на границе устойчивости. Из этого можно определить критический коэффициент усиления К_кр.