2.4. Линеаризация уравнений

В общем случае, ДУ, описывающие поведение элемента или системы регулирования, нели­нейны. Но при малых отклонениях координат системы от положения равновесия начальные усло­вия можно заменить на линейные. Процесс замены нелинейности, содержащихся в уравнениях приближенной линейной зависимости, называется линеаризацией ДУ. Это позволяет применять при анализе и синтезе САУ теорию линейных систем.

Линеаризация допустима при следующих условиях:

1. Отклонение величин от их установившихся значений должны быть малыми настолько, чтобы можно было пренебречь нелинейным остатком ряда Тейлора.

2. Нелинейная функция должна быть дифференцируема в рассматриваемой точке установив­шегося режима.

Порядок линеаризации.

1. Составляется система исходных уравнений описывающих звено;

2. Составляется уравнение статики. Они получаются приравниванием всех производных к 0.

3. Производится линеаризация исходных функций входящих в исходное уравнение, путем разло­жения этих функций в ряды Тейлора в окрестности установившихся значений величины.

Замечание: членами ряда Тейлора, содержащих отклонение величин от установившихся значений. Члены со степенями выше первой отбрасываются в виду незначительности.

Линеаризованные разложения нелинейной функции подставляем в исходное уравнение, а затем вычитают из них уравнение статики, и, учитывая, что производная от величины по времени равна производной от изменения этой величины по времени, т.е. , получают систему уравнений относительно отклонений величин от их установившихся значений.

Пример . Нелинейное уравнение , (1)

Уравнение статики (2)

Линеаризованное выражение для z

Вычитая из (3) (2), получим  линеаризованное уравнение в отклонениях

2.6. Преобразование структурных схем

Структурной схемой называется схема, в которой каждой математической операции соответст­вует преобразования соответствует определенное звено. Т.е. структурная схема состоит из звеньев направленного действия и математически описывает динамические свойства системы. Например, структурная схема системы, математическое описание которой получено ранее.

Для расчета любой системы необходимо иметь выражение для выходной величины, т.к. цепь расчета системы: как изменяется у(t) при подаче на вход одного из воздействий.

1. Последовательное соединение звеньев.

По определению передаточная функция звена

W₁(s) = , тогда можно записать выражение для выходных величин всех звеньев с учетом того, что

У₁(s) = X₂(s); У₂(s) =X₃(s); (1), тогда

У₁(s) = W₁(s)  X₁(s); (2)

У₂(s) = W₂(s)  X₂(s) = W₁(s)  W₂(s)  X₁(s); (3)

У₃(s) = У(s) = W₃(s)  X₃(s); (4)

Тогда после подстановки (2) и (3) в (4)

У(s) = W₃(s)  W₁(s)  W₂(s)  X₁(s); или передаточная функция для последовательного соединения

W_пс(s) = = W₃(s)  W₁(s)  W₂(s);

или в общем виде W_пс(s) = ;

2. Параллельное соединение.

Запишем уравнение для выходных величин:

У₁(s) = W₁(s)  X(s); У₂(s) = W₂(s)  X(s); У₃(s) = W₃(s)  X(s); или с учетом того, что У=У₁+У₂+У₃

У(s) = X(s)  (W₁(s)+W₂(s)+W₃(s)) , тогда передаточная функция для параллельно включенных звеньев

W_пар = = W₁(s)+W₂(s)+W₃(s);

или в общем виде W_пар = ;