2. Математическое описание сар

2.1. Разбивка сар на звенья

Математическое описание системы начинается с разбиения её на звенья и определения математи­ческого описания каждого звена. Разбивка идет не по функциональным признакам, а при этом выделяются звенья направленного действия. Это звенья, которые передают входное воздействие только в одном направлении. Т. е. присоединению звена к выходу другого звена не должно оказывать на пред­шествующее звено обратной реакции. Для этого последующее звено должно потреблять более малую мощность по сравнению с мощностью предыдущего звена.

2.2. Порядок составления математического описания

1. Составляется система исходных уравнений описывающих данное звено в соответствии с физи­ческими процессами, определяющими работу этого звена. При составлении уравнений опера­торным методом операции дифференцирования заменяют на оператор p.

т.е. ;

2. Решение системы дифференциальных уравнений (ДУ) находится путем их совместного решения и определяется математиче­ская зависимость между выходной и входной величинами путём исключения промежуточных переменных.

3. Производится нормализация полученного ДУ (между выходом и входом), а именно:

• в левой части уравнения выписываются слагаемые, содержащие выходную величину в порядке убывания производной; в правой части уравнения выписываются слагаемые содержащие вы­ходные величины в том же порядке;

• рассмотрим собственный оператор (при выходной величине) и оператор входных воздействий. Из операторов входных воздействий выносятся за скобки их свободные члены (не содержащие множитель р). Затем всё уравнение делится на свободный член.

(1)  исходное ДУ

у – регулируемая величина;

х1, х2 – входные величины;

х1 – задающее воздействие;

х2 – возмущающее воздействие;

(2)

собственный оператор входных

оператор воздействий

После деления на а₂ – коэффициент при выходной величине у

(3)

4. Вводим стандартные обозначения для коэффициентов:

• коэффициенты при входных величинах называются коэффициентами передачи и обозначаются через К с индексами:

тогда из уравнения (3) при , получим

уравнение статики.

• коэффициенты при первых производных имеют размерность времени и обозначаются бук­вами Тn и называются постоянными времени:

• коэффициенты при вторых производных имеют размерность квадрата и обозначаются как квадрат постоянной времени:

2.3. Передаточные функции звена

Передаточная функция может находиться либо в операторной форме, либо в изображении по Лапласу.

Передаточная функция в операторной форме равна отношению оператора входного воздействия к собственному оператору. Сколько входных величин, столько и передаточных функ­ций:

Передаточная функция по : Передаточная функция по :

; .

Передаточная функция в изображении по Лапласу равна отношению изображённой по Лапласу выходной величины к изображёнию входной величины при нулевых начальных условиях всех входных величин.

Преобразование по Лапласу преобразует временную переменную y(t) в ее изображение на комплексной плоскости y(s) по формуле:

Допустим, имеем , тогда

или уравнение (1) после преобразования по Лапласу

Сравнение переходных функций, полученных разными методами показывает, что они отличаются только обозначе­нием операторов s и p. Эти выражения будут совпадать, пока коэффициенты ДУ не зависят от времени.

Важным является понятие характеристического уравнения, которое можно найти из пере­даточной функции разомкнутой или замкнутой системы, приравняв знаменатель соответствую­щей передаточной функции к 0, т.е. характеристическое уравнение А(s) или .