Случайные величины

1. Игральный кубик бросают три раза. Найдите закон распределения числа выпадений 6 очков и математическое ожидание этой величины, постройте многоугольник распределения и график интегральной функции распределения.

2. Непрерывная случайная величина X задана функцией плотности вероятности . Найдите параметр а и интегральную функцию распределения. Постройте график интегральной функции распределения.

3. Непрерывная случайная величина распределена равномерно в интервале . Найдите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Вычислите вероятность попадания этой случайной величины в интервал и покажите эту вероятность на графике.

4. Размер деталей, изготавливаемых автоматом, есть нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 20 см и дисперсией 0,04 см . В каких границах можно гарантировать диаметр детали с вероятностью 0,996?

Вариант 12 Случайные события

1. Является ли полной следующая группа событий: опыт – бросание монеты; события А₁ – появление герба, А₂ – появление цифры?

2. В ящике лежат 20 теннисных мячей, из них 12 новых и 8 игранных. Для игры берут наугад 2 мяча, и после игры возвращают в ящик. Затем из ящика вынимают 2 мяча для следующей игры. Найдите вероятность того, что оба мяча будут новыми.

3. Вероятность попадания в цель равна 0,3. Сбрасываются одиночно 6 бомб. Найдите вероятность того, что в цель попадет 4 бомбы.

4. При штамповке 70% деталей выходит первым сортом, 20% – вторым, 10% – третьим. Определите, сколько надо взять отштампованных деталей, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было утверждать, что доля первосортных из них будет отличаться от вероятности изготовления первосортной детали по модулю не более, чем на 0,05.

5. Из шести букв разрезной азбуки составлено слово “ананас”. Карточки перемешаны. Какова вероятность получить это слово в порядке появления карточек при их произвольном выборе?

6. Преподаватель вызвал через старосту на обязательную консультацию трех студентов из 6 отстающих. Староста забыл фамилии вызванных студентов и послал наудачу трех отстающих студентов. Какова вероятность того, что староста послал именно тех трех студентов, которых назвал преподаватель?

7. Первый рабочий производит 55% всех деталей, второй – 45%. В продукции первого рабочего брак составляет 2%, у второго – 1%. Случайно взятая деталь оказалась бракованной. Найдите вероятность того, что она изготовлена вторым рабочим.

8. Какова вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков суммарное число очков на выпавших гранях будет не больше 6, а произведение числа очков при этом – нечетное число?

9. На прядильной фабрике работница обслуживает 800 веретен, вероятность обрыва нити на каждом из них в течение некоторого промежутка времени равна 0,005. Найдите вероятность того, что в течение этого времени обрыв произойдет в десяти веретенах.

Случайные величины

1. Функция распределения вероятностей случайной величины имеет вид

Найдите вероятность того, что случайная величина окажется в интервале

(3, 6), M(X), постройте графики f(x) и F(x).

2. Монета подбрасывается 5 раз. Рассматривается случайная величина X – количество выпавших гербов. Постройте ряд распределения этой случайной величины, найдите M(X), D(X), σ(X). Постройте многоугольник распределения и график интегральной функции распределения.

3. Длительность времени безотказной работы прибора имеет показательное распределение . Найдите вероятность безотказной работы прибора в течении часов. Каков гарантийный срок прибора?

4. Длины деталей, выпускаемые автоматом, представляют собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно равны 7см и 0,01 см. Найдите вероятность того, что отклонение длины детали от ее математического ожидания не превзойдет 0,05 см, и покажите эту вероятность на графике.