Вариант 23 Случайные события

1. Образует ли полную группу следующая группа событий: опыт – бросание двух монет; события А₁ – появление двух гербов, А₂ – появление герба и цифры? Если нет, то дополните указанную совокупность до полной группы.

2. Из полного набора костей домино (28 костей) выбирается наудачу одна кость. Какова вероятность того, что это будет кость 3–5? Найдите вероятность того, что следующую вынутую кость можно будет приставить к первой.

3. В урне два белых и три черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найдите вероятность того, что выиграет первый игрок.

4. Два равносильных противника играют три партии в шахматы. Найдите вероятность для каждого выиграть две партии из трех.

5. Три охотника стреляют по кабану, который после этого оказался убитым одной пулей. Найдите вероятность того, что кабан убит третьим охотником, если вероятности попадания в кабана для них равны соответственно 0,2, 0,4, 0,6.

6. По данным длительной проверки качества выпускаемых запчастей определенного типа, брак составляет 13%. Определите вероятность того, что в непроверенной партии из 150 запчастей пригодных будет 128 штук.

7. Имеются три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 3 черных, во второй – 5 белых и 2 черных, в третьей – 2 белых и 5 черных шаров. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найдите вероятность того, что этот шар окажется белым.

8. В партии из 50 деталей 5 нестандартных. Определите вероятность того, что среди выбранных наудачу шести деталей две окажутся нестандартными.

9. Проведено 1000 независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью p = 0,002. Какова вероятность того, что при этом событие А наступило 10 раз?

Случайные величины

1. Найдите функцию распределения F(x) и вероятность попадания случайной величины X в интервал (1, 2), если плотность вероятности случайной величины X равна

2. Производят 4 независимых выстрела, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Постройте: а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) график функции F(x) случайной величины X – числа попаданий. Найдите числовые характеристики этой случайной величины.

3. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с параметром . Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания случайной величины в интервал и покажите ее на графике.

4. Размер деталей задан полем допуска 75 – 80 мм. На заводе средний размер таких деталей 7,7 см, а среднее отклонение – 0,5 см. Какова вероятность получения бракованной детали с этого завода, если ее размер подчиняется нормальному закону распределения?

Вариант 24 Случайные события

1. Являются ли зависимыми следующие события: опыт – бросание игральной кости; события А₁ – появление четного числа очков, А₂ – появление нечетного числа очков?

2. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что произведение выпавших очков окажется равным 6?

3. Производится залп из двух орудий по мишени. Найдите вероятность поражения цели, если первое попадает с вероятностью 0,5, второе – с вероятностью 0,7.

4. Стрелок трижды стреляет по мишени с вероятностью попадания 0,6. Найдите для него вероятность набрать не менее 10 очков, если за каждое попадание начисляется 5 очков.

5. Помехи искажают 2/5 “точек” и 1/3 “тире” (при искажении каждый сигнал переходит в противоположный). В сообщении “точки” и “тире” встречаются в отношении 5:3. Определите вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если принята “точка”.

6. При массовом производстве продукции и установившемся процессе производства 4% изделий выходят бракованными. Сколько изделий следует отобрать, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что среди изделий доля бракованных по абсолютной величине отличается от 4% не более чем на 2%?

7. Автомашина используется для подвозки товара в три магазина. В первом магазине разгрузка выполняется в течение 30 минут с вероятностью 0,77, во втором – 0,67 и в третьем – 0,62. На базу сообщили, что машина разгружена за 30 минут. Определите вероятность, что это произошло в первом магазине.

8. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найдите вероятность того, что событие наступит 20 раз в 100 испытаниях.

9. Из 12 имеющихся приборов 3 неисправных. Какова вероятность того, что среди 4, взятых наугад приборов, находятся 2 неисправных?