Случайные величины

1. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения:

Найдите числовые характеристики этой случайной величины.

2. Из каждых четырех пенальти вратарь парирует в среднем один удар. Найдите ряд распределения и математическое ожидание числа забитых мячей при пяти одиннадцатиметровых ударах.

3. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с параметром . Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Определите вероятность попадания случайной величины в интервал и покажите ее на графике.

4. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по нормальному закону, равны соответственно 5 и 9. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Покажите, что практически достоверно попадание случайной величины в интервал , и объясните полученный результат.

Вариант 19 Случайные события

1. Являются ли несовместными следующие события: опыт – бросание двух монет; события А₁ – появление герба на первой монете, А₂ – появление надписи на второй монете?

2. В лотерее 100 билетов. Из них: 1 выигрыш – в 100 руб., 3 – по 50 руб., 6 – по 30 руб. и 15 – по 10 руб. Найдите вероятность выиграть хотя бы по одному билету, если куплено 3 билета.

3. В тире имеются три ружья, вероятности попадания из которых 0,6, 0,8, 0,9. Определите вероятность попадания при одном выстреле, если стрелок берет одно из ружей наудачу.

4. В партии смешаны детали двух сортов: 80% первого и 20% второго. Сколько деталей первого сорта с вероятностью 0,0967 можно ожидать среди 100 наудачу взятых деталей?

5. Мимо бензоколонки проезжают легковые и грузовые машины. Среди них грузовых машин – 60%. Вероятность того, что проезжающая машина подъедет на заправку для грузовых машин, равна 0,1, а для легковых – 0,2. К бензоколонке подъехала на заправку машина. Найдите вероятность того, что она грузовая.

6. Прибор состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других, может отказать. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. Вероятность безотказной работы первого узла равна 0,7, второго – 0,8 и третьего – 0,9. Найдите вероятность безотказной работы прибора в целом.

7. На стол бросается кубик, две грани которого окрашены. Какова вероятность того, что кубик упадет на стол окрашенной гранью.

8. В мастерской работают 6 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к обеденному перерыву равна 0,8. Найдите вероятность того, что к обеденному перерыву: а) перегреются 4 мотора; б) перегреются все моторы; в) ни один мотор не перегреется.

9. Какова вероятность того, что в 1000 независимых испытаниях частота наступления события будет иметь отклонение от его вероятности p = 0,36 не более чем на 0,01?

Случайные величины

1. На пути движения автомашин 4 светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает автомашине движение. Случайная величина X – число светофоров, пройденных автомашиной до первой остановки. Постройте: а) ряд распределения; б) многоугольник распределения случайной величины X; в) график функции F(x). Найдите числовые характеристики этой случайной величины.

2. Случайная величина X задана функцией распределения:

Найдите плотность распределения вероятностей и числовые характеристики этой случайной величины. Постройте графики функций F(x) и f(x).

3. Найдите числовые характеристики равномерно распределенной в интервале случайной величины. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Вычислите вероятность попадания этой случайной величины в интервал и покажите эту вероятность на графике.

4. Диаметр деталей, выпускаемых заводом, есть величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 20 см и дисперсией 6,25 см . Найдите вероятность брака, если допустимый размер детали 20 2 мм?