Вариант 13 Случайные события

1. Является ли полной следующая группа событий: опыт – бросание двух монет; события А₁ – появление двух гербов, А₂ – появление герба и цифры?

2. Энергосберегающие лампы изготовляются на двух заводах. Первый завод производит 60% общего количества ламп, второй – 40%. Продукция первого завода содержит 80% стандартных ламп, второго – 90%. В магазин поступает продукция обоих заводов. Купленная в магазине лампа оказалась стандартной. Найдите вероятность того, что она изготовлена на первом заводе.

3. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью не менее 0,9 герб появился хотя бы один раз?

4. Какова вероятность того, что в сентябре наудачу взятого года будет пять воскресений?

5. В мешочке содержатся 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекаются по одному три кубика. Найдите вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если они извлекаются без возвращения.

6. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Какова вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков?

7. Студент знает 25 из 30 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найдите вероятность того, что студент знает ответ на два вопроса билета.

8. На складе цеха имеются электродвигатели, 19 из них изготовлены на первом заводе, 6 – на втором и 11 – на третьем. Двигатели могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0,85, 0,76, 0,71. Рабочий берет один двигатель и монтирует его к устройству. Найдите вероятность того, что двигатель проработает безотказно до конца гарантийного срока.

9. Определите вероятность того, что при четырех бросаниях монеты число выпадений цифры будет равно: а) трем; б) не более трех.

Случайные величины

1. Каждая из 4 ламп с вероятностью 0,9 имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток, при этом дефектная лампочка сразу перегорает, после чего заменяется другой. Постройте ряд распределения случайной величины X – числа лампочек, которое будет испробовано. Найдите M(X), интегральную функцию распределения F(x) и постройте ее график.

2. Случайная величина X задана интегральной функцией

Найдите числовые характеристики этой случайной величины и дифференциальную функцию f(x). Постройте графики функций F(x) и f(x).

3. Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром . Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания случайной величины в интервал и покажите ее на графике.

4. Размер деталей задан полем допуска 10 – 12 см. На заводе средний размер таких деталей 11,4 см, а среднее отклонение – 0,8 см. Какова вероятность получения бракованной детали с этого завода, если ее размер подчиняется нормальному закону распределения?

Вариант 14 Случайные события

1. Является ли полной следующая группа событий: опыт – бросание игральной кости; события А₁ – появление не более двух очков, А₂ – появление трех или четырех очков, А₃ – появление не менее пяти очков?

2. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,2. Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более чем на 0,02.

3. Предприятие изготавливает 95% стандартных изделий, причем 86% из них 1 сорта. Какова вероятность того, что взятое наудачу изделие этого предприятия окажется 1 сорта?

4. Какова вероятность того, что в наудачу взятом високосном году будет 53 воскресенья?

5. Два охотника одновременно стреляют по цели. Известно, что первый охотник попадает с вероятностью 0,2, второй – 0,6. В результате первого залпа оказалось одно попадание. Найдите вероятность того, что промахнулся первый охотник.

6. На шести одинаковых карточках написаны числа 2, 4, 7, 8, 12, 14. Наугад берутся две карточки. Какова вероятность того, что образованная из двух полученных чисел дробь сократима?

7. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% – из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найдите вероятность того, что одна взятая наугад болванка не имеет дефектов.

8. При массовом производстве полупроводниковых диодов вероятность брака при формовке равна 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад взятых диодов 50 будут бракованными?

9. Среди деталей, вырабатываемых рабочим, бывает в среднем 3% нестандартных. Найдите вероятность того, что среди взятых на испытание 6 деталей две будут нестандартными.