Вариант 2 Случайные события

1. Являются ли несовместными следующие события: опыт – два выстрела по мишени; события А₁ – хотя бы одно попадание, А₂ – хотя бы один промах?

2. Вероятность выпуска изделия, отвечающего утвержденным техническим нормам, равна 0,9. Какова вероятность в партии из 300 изделий получить 265 стандартных?

3. На сборку поступило 35 конусных и 30 эллиптических валиков. Сборщик наудачу взял один валик, а затем, не возвращая его, второй. Какова вероятность того, что первый валик был конусным, а второй – эллиптическим?

4. В ящике находится 54 одинаковых по виду и весу деталей, помеченных номерами от 1 до 54. Какова вероятность того, что наудачу вынутая деталь окажется с номером, кратным 3?

5. Вероятность всхожести семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 6 семян взойдут 4?

6. Два датчика посылают сигналы в общий канал связи, причем первый посылает в 2 раза больше сигналов, чем второй. Вероятность получить искаженный сигнал от первого датчика равна 0,06; от второго – 0,03. Какова вероятность того, что наугад выбранный из общего канала связи сигнал будет искаженным?

7. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит пять вопросов. Найдите вероятность того, что студент знает ответ только на три вопроса билета.

8. Первый рабочий производит 55% всех деталей, второй рабочий – 45%. В продукции первого – 2% брака, у второго – 3%. Случайно взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она сделана вторым рабочим?

9. Две монеты подбрасываются 1000 раз. Найдите приближенное значение вероятности того, что число выпадений комбинации “герб – герб” будет заключено между 236 и 264.

Случайные величины

1. Функция распределения случайной величины имеет вид

Найдите функцию плотности вероятности и вероятность попадания этой случайной величины в интервал . Постройте графики функций F(x) и f(x).

2. Из ящика с десятью шарами (среди которых 7 белых и 3 черных) одновременно извлекаются 4 шара. Запишите закон распределения вероятностей числа белых шаров в выборке. Постройте многоугольник распределения и график интегральной функции распределения F(x). Найдите числовые характеристики этой случайной величины.

3. Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром . Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения этой случайной величины, постройте их графики. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины и определите вероятность попадания ее в интервал . Покажите эту вероятность на графике.

4. Диаметр подшипников, выпускаемых заводом, есть величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 8 мм и дисперсией 0,16 мм . Какова вероятность брака по размеру диаметра, если разрешенный допуск 0,6 мм?

Вариант 3 Случайные события

1. Являются ли равновозможными события: опыт – выстрел по мишени; события А₁ – попадание, А₂ – промах?

2. В ящике имеется 5 деталей, изготовленных заводом №1, и 10 деталей, изготовленных заводом №2. Сборщик последовательно вынимает из ящика детали одну за другой. Найдите вероятность того, что во второй раз будет извлечена деталь, изготовленная заводом №2.

3. Вероятность попадания в самолет при одном выстреле равна 0,008. Производятся 100 выстрелов. Определите вероятность двух попаданий.

4. В одном институте установили, что вероятность наличия иногородних студентов составляет 36%. Определите с вероятностью 0,9545, в каких границах может заключаться относительная частота иногородних студентов во всем обследуемом коллективе, если численность выборки равна 900 человек.

5. Определите вероятность того, что серия наудачу выбранной облигации не содержит одинаковых цифр, причем номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001.

6. Во время тренировок установлено, что спортсмен может улучшить прежний результат с вероятностью при каждой попытке. Какова вероятность того, что на очередных соревнованиях, где разрешается три попытки, спортсмен улучшит свой результат?

7. В партии из 10 деталей 7 окрашены. Наудачу отобраны 3 детали. Найдите вероятность того, что среди отобранных деталей 2 окрашены.

8. Пять стрелков попадают в мишень с вероятностью 0,6, три стрелка – с вероятностью 0,7, два – с вероятностью 0,9. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой группе стрелков вероятнее всего принадлежал он?

9. Производится пять независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Чему равна вероятность того, что число попаданий будет заключено в пределах от 1 до 3?