Случайные величины

1. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения

Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Постройте графики интегральной и дифференциальной функций.

2. Производят выстрелы из орудий с вероятностью попадания 0,8 при каждом выстреле. Стрельба ведется до первого попадания, но не свыше четырех выстрелов. Напишите закон распределения случайной величины X– числа произведенных выстрелов. Постройте многоугольник распределения и график функции распределения. Найдите числовые характеристики этой случайной величины.

3. Длительность времени безотказной работы прибора имеет показательное распределение . Каков его гарантийный срок? Какова вероятность того, что прибор прослужит вдвое дольше гарантийного срока?

4. Размер деталей задан полем допуска 20 – 22 см. Средний размер таких деталей 20,6 см, а среднее отклонение – 0,8 см. Какова вероятность получения бракованной детали, если ее размер подчиняется нормальному закону распределения?

Вариант 28 Случайные события

1. Назовите противоположные события для событий А – выпадение двух гербов при бросании двух монет, В – три попадания при трех выстрелах.

2. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найдите вероятность того, что из 200 родившихся детей мальчиков и девочек будет поровну.

3. Вероятности того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равны p₁ = 0,8, p₂ = 0,4, p₃ = 0,7. Определите вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей.

4. В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 черных. Наудачу вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба они белые? Какова вероятность того, что они разного цвета?

5. Изделие может поступить для обработки на первый станок с вероятностью 0,2, на второй – с вероятностью 0,3 и на третий станок – с вероятностью 0,5. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором – 0,03, на третьем – 0,05. Выбранное наудачу изделие оказалось бракованным. Чему равна вероятность того, что изделие было обработано на третьем станке?

6. В ящике лежат несколько тысяч предохранителей. Половина их изготовлена заводом №1, остальные – заводом №2. Наудачу вынули пять предохранителей. Чему равна вероятность того, что заводом №1 из них изготовлены: а) два; б) менее двух; в) более двух?

7. Игральную кость бросают 4200 раз. Какова вероятность того, что при этом три очка выпало 700 раз?

8. Бросили две игральные кости и подсчитали сумму выпавших очков. Что вероятнее: получить в сумме 7 или 8?

9. На сборку поступают детали, изготовленные тремя автоматами. Известно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй – 0,2% и третий – 0,4%. Найдите вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей.

Случайные величины

1. Случайная величина задана функцией распределения F(x)

Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Постройте графики интегральной и дифференциальной функций.

2. Билет на право разового участия в азартной игре стоит x долларов. Игрок выбрасывает две игральные кости и получает выигрыш 100 долларов, если выпали две шестерки, 10 долларов – при выпадении одной шестерки и проигрывает, если ни одной шестерки не появилось. Какова должна быть стоимость билета, чтобы игра приносила доход ее устроителям?

3. Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром . Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Определите вероятность попадания случайной величины в интервал и покажите ее на графике.

4. Длины деталей, выпускаемые автоматом, – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием, равным 30 мм, и дисперсией, равной 0,64 мм . Найдите вероятность того, что отклонение длины детали от ее математического ожидания не превзойдет 3 см, и покажите эту вероятность на графике.