1. Повторение опытов (схема Бернулли).

Многие прикладные задачи (например, контроль качества продукции) связанные с вычислением вероятности сложных событий при фиксированном числе n повторения независимых опытов и известной вероятности p наступления некоторого события А в одном опыте. При этом каждое из элементарных событий серии представляется в виде произведения сомножителей, каждый из которых в зависимости от порядка следования равен либо А_i, , либо _i..

Определение 4.1.

Опыты называются независимыми, если вероятность появления события А в каждом опыте не зависит от того, появилось оно в предыдущих опытах или нет.

Задача 1.

Пусть производится 3 независимых опыта, в каждом из которых событие А происходит с одинаковой вероятность p. Определить вероятность того, что в серии из 3 опытов событие А произойдет ровно 2 раза.

Или иначе:

Вероятность получения студентом стипендии равна p. Определить вероятность того, что в студент будет получать стипендию в двух из оставшихся трех семестрах.

Решение.

Сложное событие А – студент получает стипендию в 2-х из 3-х семестрах.

Событие А_i – студент получает стипендию в i-ом семестре,

i – студент не получает стипендию в i-ом семестре,

Р(А_i )= p =0,8 , Р( i)=1- p =0,2 .

А = А₁А_{2 3}+ А_{1 2}A₃ + ₁А₂А₃ ;

Согласно следствию теоремы 1 (несовместные события),

Р(А) = Р(А₁А_{2 3}+ А_{1 2}A₃ + ₁А₂А₃ ) =Р( ₁А₂А₃) + Р(А_{1 2}A₃) + Р(А₁А_{2 3}) .

Согласно следствию теоремы 2 (А_i – события независимые, i = 1,2,3) , т.е.

Р(А) = Р(А₁)Р(А₂)Р( ₃) + Р(А₁)Р( ₂)Р(A₃) +Р( ₁)Р(А₂)Р(А₃) =

= p∙p∙(1-p)+ p∙(1-p)∙p +(1-p) ∙p∙p=3∙ (1-p)= C₃² ∙ p²∙ (1-p) .

Р(А) =C₃² ∙ p²∙ (1-p) = 3∙0,64∙0,2=0,384 .

Таким образом, задачи на повторение независимых опытов могут быть решены с помощью основных теорем теории вероятностей. Однако в условиях большого числа испытаний использование основных теорем становится малоэффективным из-за больших временных затрат на вычислительные процедуры.

2. Формула Бернулли

Процедура полного перебора оправдывает себя только при небольшом числе испытаний, в случае же большого числа испытаний, гораздо эффективнее использовать формулу Бернулли.

Теорема 4. (Теорема Бернулли).

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одинаковой вероятностью р, то вероятность того, что в этих испытаниях событие А произойдет ровно k раз (безразлично, в какой последовательности) определяется по формуле

(4.1)

Формула (4.1) известна как формула Бернулли.

Рекомендуется использовать формулу Бернулли при числе испытаний не превышающем числа 10.

Следует также помнить, что формула (4.1) может быть использована только в условиях биномиального эксперимента, то есть при выполнении следующих требований:

• эксперимент должен состоять из фиксированного числа испытаний (задано n);

• каждое испытание приводит либо к успеху, либо к неудаче (к наступлению или не наступлению события А);

• вероятность успеха (неудачи) во всех испытаниях должна быть одинаковой;

• все испытания должны быть независимыми друг от друга.

Задача 2.

В условиях задачи 1 определим вероятность того, что в серии из 3 опытов событие А произойдет ровно 2 раза, используя теорему Бернулли.

Решение.

Событие А – студент получает стипендию в 2-х из 3-х семестрах.

Событие А_i – студент получает стипендию в i-ом семестре, Р(А_i )= p =0,8 ,

i – студент не получает стипендию в i-ом семестре, Р( i)=1- p =0,2 .

Задача 3.

Вероятность появления студента на лекции по ТВ и МС равна 0,9. Найти вероятность того, что студент посетит 7 лекций из 15 запланированных в семестре.

Решение

А – студент посетит 7 лекций из 15 запланированных.

А_i – студент посещает i - тую лекцию, Р(А_i )= p =0,9 , Р( i)=1- p = q =0,1 .

n =15, k =7.

Формула (4.1) приводит к громоздким вычислениям при больших значениях n и k, а также при малых значениях p и (1- p). Указанных вычислений можно избежать, если точное определение вероятности Р_n(k) заменить её оценкой.