Лекция № 8 Основные задачи математической статистики. Определение законов распределения случайных величин на основе экспериментальных данных.

1. Предмет и задачи математической статистики.

Математической статистикой называется наука, занимающаяся методами обработки опытных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями.

Любой такой результат можно представить как совокупность значений некоторой случайной величины или системы случайных величин, полученных принятых в результате n опытов.

Предмет математической статистики составляют методы регистрации, описания и анализа статистических экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений.

К основным задачам математической статистики относятся:

1. Задача определения закона распределения случайной величины по статистическим данным.

2. Задача проверки правдоподобия гипотез.

3. Задача определения неизвестных параметров распределения.

2. Основные понятия.

Совокупность наблюденных значений случайной величины Х представляет собой первичный статистический материал, подлежащий обработке.

Такая совокупность называется простой статистической совокупностью или генеральной совокупностью.

Обследование, при котором анализу подвергается каждый член генеральной совокупности, называется сплошным обследованием.

Поскольку исследование полной генеральной совокупности обычно или невозможно или неэкономно, то из генеральной совокупности выбирают часть элементов и проводят выборочное обследование.

Выборочной совокупностью, или просто выборкой, называют ту часть генеральной совокупности, которая выбрана для исследования.

Объемом генеральной совокупности или выборки называют число элементов этой совокупности.

Выборки делятся на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Возникает вопрос: как правильно составить выборку, чтобы результаты ее анализа были с одной стороны достоверными, а с другой достаточно экономичными?

Чтобы иметь право судить о генеральной совокупности по выборке, последняя должна быть образована случайно.

Для этого наиболее часто используются следующие способы формирования выборки:

1. Собственно-случайный способ,

2. Механический способ,

3. Типический способ,

4. Серийный способ.

3. Простейшие приемы обработки результатов наблюдений.

3.1 Статистическое распределение выборки.

Статистическим распределением выборки или вариационным рядом называется перечень вариант (в возрастающем порядке) и соответствующих им частот (относительных частот). При этом вариантами называются всевозможные значения генеральной совокупности.

Например, пусть рассматривается выборка, причем: признак Х₁ встречается n₁ раз; признак Х₂ встречается n₂ раз; …; признак Х_k встречается n_k раз.

Вариационный ряд

Варианты	Частота	Относительная частота
Х1	n1
Х2	n2
…	…	...
Хk	nk
Объем выборки

Если количество вариантов слишком велико или близко к объему выборки, то целесообразно составить вариационный ряд по группированным данным.

Таблица. Группированный статистический ряд

Номер интервала	Границы интервала		Середина интервала	Частота		Относительная частота	О рдината гистограммы
n
1	12,4438	12,98409091	12,71394545	5	0,041667		0,077118948
2	12,98409091	13,52438182	13,25423636	6	0,05		0,092542738
3	13,52438182	14,06467273	13,79452727	7	0,058333		0,107966528
4	14,06467273	14,60496364	14,33481818	16	0,133333		0,246780634
5	14,60496364	15,14525455	14,87510909	25	0,208333		0,385594741
6	15,14525455	15,68554545	15,4154	15	0,125		0,231356845
7	15,68554545	16,22583636	15,95569091	14	0,116667		0,215933055
8	16,22583636	16,76612727	16,49598182	12	0,1		0,185085476
9	16,76612727	17,30641818	17,03627273	13	0,108333		0,200509265
10	17,30641818	17,84670909	17,57656364	2	0,016667		0,030847579
11	17,84670909	18,387	18,11685455	5	0,041667		0,077118948

Если значение случайной величины находится в точности на границе двух интервалов, то можно (чисто условно) считать данное значение принадлежащим в равной мере к обоим интервалам и прибавлять к числам n_i того и другого разряда по 0,5.

Число интервалов, на которые следует группировать статистический материал, не должно быть слишком большим (тогда ряд распределения становится невыразительным, и частоты в нем обнаруживают незакономерные колебания); с другой стороны, оно не должно быть слишком малым (при малом числе интервалов свойства распределения описываются статистическим рядом слишком грубо).

Практика показывает, что в большинстве случаев рационально выбирать число интервалов порядка 10 – 20. Длины интервалов могут быть как одинаковыми, так и различными. При выборе равных интервалов разбиения диапазона изменения случайной величины, количество интервалов определяется в соответствии с таблицей:

n	100	200	400	600	800	1000	1500	2000
k	12	16	20	24	27	30	35	37