4. Модели надежности технических систем

Теория вероятностей играет первостепенную роль в теории надежности, предоставляя ей строгий математический аппарат. В частности, расчет надежности технических систем полностью базируется на основных теоремах теории вероятностей и является удачной иллюстрацией их использования в инженерной практике.

Определение 6.

Под надежностью технической системы понимается вероятность её безотказной работы за определенный период времени Т.

Основные теоремы теории вероятностей позволяют определять вероятность безотказной работы системы по известным вероятностям безотказной работы отдельных ее элементов.

Элементы системы могут различным образом объединяться в систему.

В зависимости от способа объединения различают системы с

• последовательным;

• параллельным;

• мостовым;

• смешанным соединением элементов.

Последовательным соединением элементов называется такое соединение элементов, при котором входом каждого следующего элемента является выход предыдущего.

Будем считать, что при последовательном соединении элементов система находится в работоспособном состоянии только тогда, когда работают все ее элементы (отказ системы наступает тогда, когда отказывает хотя бы один элемент системы).

Обозначим Р – надежность всей системы, р_i – надежность i – го элемента. Определим значение Р.

Модель системы из n последовательно соединенных элементов

Рис.2.2

Сейчас и в дальнейшем будем считать, что система разбита на элементы так, что отказ любого из них ни в коей степени не влияет на отказ остальных элементов.

Примером такой системы может служить гирлянда последовательно соединенных лампочек. Выход из строя хотя бы одной лампочки влечет за собой выход из строя всей гирлянды.

Введем обозначения. Пусть:

А – безотказная работа системы. Р = Р(А).

А_i – безотказная работа i-го элемента. Р(А_i)=р_i..

А = А₁А₂...А_i...А_n/

А₁, А₂, ...,А_i, ...,А_n – события независимые, значит

Р(А) = Р(А₁)Р(А₂)...Р(А_i)...Р(А_n),

или в сокращенном виде:

(2.5)

Выражение (2.5) является математической моделью надежности системы последовательно соединенных элементов.

Анализ модели показывает, что при , вероятность безотказной работы системы , поскольку все сомножители p_i < 1 . Это значит – чем сложнее система, тем ниже её надежность. Слишком сложная система неработоспособна!

Параллельным соединением элементов называется такое соединение элементов при котором все элементы имеют общий вход и общий выход.

Будем считать, что при параллельном соединении элементов система выходит из строя, если не работают все ее элементы.

Модель системы из n параллельно соединенных элементов

Примером такой системы может служить система светильников в аудитории. При выходе из строя одно или нескольких светильников остальные продолжают освещать аудиторию.

Введем обозначения. Пусть:

А – безотказная работа системы. Р = Р(А).

Ā – система отказала

А_i – безотказная работа i-ого элемента Р(А_i)= р_i,

Ā_i – отказ i-го элемента Р(Ā_i) = 1 – Р(А_i)= 1 – р_i,

Ā =Ā₁Ā₂ ... Ā_i ... Ā_n

Ā₁, Ā₂, ... Ā_i, ... Ā_n – события независимые.

Р( Ā ) = Р( Ā_i ) = 1 – Р(А_i)= (2.7)

Р(А) =1 – Р(Ā)

(2.8)

Выражение (2.8) является математической моделью надежности системы параллельно соединенных элементов.

Анализ модели показывает, что при , вероятность безотказной работы системы , поскольку произведение .

Таким образом, ввод в систему дополнительных параллельных ветвей способствует повышению надежности системы. Так, для достижения должной надежности функционирования инженерных сетей часто прибегают к их распараллеливанию, а для повышения надежности работы приборов – к дублированию (и даже троированию) основных его узлов.

Смешанное соединение элементов

Реальные технические системы, как правило, представляют собой сложные комбинации последовательных, параллельных и мостовых соединений.

Для определения надежности такой системы необходимо:

• _{разбить систему на несколько подсистем таким образом, чтобы они были соединены между собой либо последовательно, либо параллельно;}

• _{определить надежность каждой из полученных подсистем;}

• _{используя соответствующую формулу для последовательно или параллельно соединенных элементов определить надежность всей системы.}

_{Если получаемые подсистемы будут включать как последовательное, так и параллельное соединение элементов, то для определения их надежности применяют ту же процедуру, что и для определения надежности всей системы.}

Задача.

Определить надежность системы Р по заданной надежности отдельных элементов.

р₁ – вероятность безотказной работы элементов I блока

р₂ – вероятность безотказной работы элемента II блока

р₃ – вероятность безотказной работы элементов III блока

P_I = 1 – (1 –р₁)²

P_II = р₂

P_III = 1 – (1 – р₃)³

Р = P_I· P_II· P_III = 1 – (1 –р₁)² р₂[1 – (1 – р₃)³