- •Лекция № 1 Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики.
- •1. Основные понятия теории вероятностей.
- •2. Классическое определение вероятности.
- •3. Элементы комбинаторики.
- •Лекция № 2 Алгебра событий. Аксиомы тв. Основные теоремы теории вероятностей. Модели надежности технических систем
- •1. Алгебра событий.
- •3. Основные теоремы теории вероятностей
- •Определение 4.
- •4. Модели надежности технических систем
- •Лекция № 3 Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
- •1. Формула полной вероятности.
- •2. Формула Байеса.
- •1. Повторение опытов (схема Бернулли).
- •2. Формула Бернулли
- •3. Локальная теорема Лапласа
- •4. Интегральная теорема Лапласа
- •5. Наивероятнейшее число наступления событий.
- •Лекция № 5 Случайные величины.
- •1. Дискретные случайные величины.
- •Формы задания закона распределения дискретной случайной величины
- •2.1. Ряд распределения.
- •2.2. Многоугольник распределения.
- •2.3. Интегральная функция распределения.
- •2. Многоугольник распределения
- •3. Интегральная функция распределения
- •3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок
- •Лекция № 6 Числовые характеристики случайных величин.
- •1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси.
- •Математическое ожидание не случайное число, которое в зависимости от типа случайной величины определяется по формуле:
- •На рис.6.2 показана мода непрерывной унимодальной (с одной модой) случайной величины, заданной плотностью распределения.
- •2. Моменты случайных величин. Для характеристики различных свойств случайных величин используются начальные и центральные моменты.
- •3. Свойства моментов случайных величин. Особого внимания заслуживают свойства начальных и центральных моментов первого и второго порядков.
- •Первый центральный момент μ1 любой случайной величины равен нулю.
- •Математическое ожидание.
- •Дисперсия.
- •Среднее квадратичное отклонение.
- •1.2. Закон распределения Пуассона Закон распределения Пуассона связан с редкими событиями, составляющими простейший поток событий.
- •1. Математическое ожидание.
- •2. Дисперсия.
- •3. Среднее квадратичное отклонение.
- •4. Вероятность попадания пуассоновской случайной величины на заданный участок.
- •2. Законы распределения непрерывных случайных величин.
- •2.1. Равномерный закон распределения
- •Если участок [α,β] не входит в диапазон [a,b], то выражение (7.17) не является справедливым. В этом случае необходимо руководствоваться выражением если (7.18)
- •2.2. Показательный закон распределения
- •2.3. Нормальный закон распределения
- •1. Математическое ожидание.
- •2. Дисперсия.
- •3. Среднее квадратичное отклонение.
- •Поскольку 2-й центральный момент
- •4. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок
- •Поскольку то (7.31) перепишется как
- •3. Правило трех сигм
- •Лекция № 8 Основные задачи математической статистики. Определение законов распределения случайных величин на основе экспериментальных данных.
- •Предмет и задачи математической статистики.
- •Основные понятия.
- •3. Простейшие приемы обработки результатов наблюдений.
- •3.1 Статистическое распределение выборки.
- •Гистограмма.
- •Эмпирическая функция распределения
- •Лекция №2. Выравнивание статистических рядов. Проверка статистических гипотез.
- •Лекция №3. Оценка параметров случайных величин.
2. Классическое определение вероятности.
Вероятность есть число, характеризующее численную меру объективной возможности появления события в результате опыта.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов к общему числу элементарных исходов опыта.
Вероятность события А обозначают Р(А).
P(A) = , (1.1)
где m – число благоприятствующих событию А исходов,
n – общее число возможных исходов опыта.
Соотношение (1.1) является классической формулой расчета вероятности событий, которые могут возникать в результате эксперимента с исходами, подпадающими под определение случаев.
Вероятность принимает значения от 0 до 1.
0 < Р(A) < 1
Вероятность невозможного события равна 0: Р(Ø)=0,
вероятность достоверного события равна 1: Р(U)=1.
Задача 1. Определить вероятность появления герба при одном броске монеты.
Опыт : бросок монеты.
Случайное событие А – появление герба при одном бросании.
Элементарные события : ω1 – выпадение герба (Г),
ω2 – выпадение цифры (Ц).
Возможные исходы опыта несовместные, равновозможные и образуют полную группу событий. n=2
Число благоприятствующих исходов ω1 (герб) равно 1. m=1.
P(A) – вероятность события А
P(A) = = .
Задача 2. Определить вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет не менее 5 очков.
Случайное событие А – выпадет не менее () 5 очков.
Элементарные события : ω1,. ω2, ω3, ω4, ω5,, ω6.
Исходы ω1,. ω2, ω3, ω4, ω5,, ω6.– несовместные, равновозможные, образуют полную группу. n=6.
Благоприятствующие исходы: ω5,, ω6. m=2.
P(A) = = .
Задача 3. В урне имеется a белых и b черных шаров. Из урны наугад извлекли шар. Найти вероятность извлечения белого (событие А) и черного (событие В) шаров.
Число исходов опыта равно (a + b)
P(A) = ,
P(B) = .
Задача 4. Из урны, содержащей 3 белых и 3 черных шара, извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что они оба окажутся белыми.
1 2 3 4 5 6
Благоприятствующие Не благоприятствующие
исходы: исходы:
Число исходов n = 15 (несовместные, равновозможные и образуют полную группу)
Число благоприятствующих исходов m = 3
P(A) = = .
Задача 5. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово “КНИГА”. Ребенок, не умеющий читать, рассыпал буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово “КНИГА”.
В этом примере общее количество случаев определяется числом возможных перестановок букв, из которых состоит слово “КНИГА”, число это довольно внушительное и процедура прямого перебора в этом случае мало эффективна.
Задачами на отыскание количества комбинаций элементов, занимается раздел математики, называемый комбинаторикой.
3. Элементы комбинаторики.
Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются количественные характеристики различных видов соединений элементов, независимо от природы самих элементов.
В основе комбинаторных методов лежат следующие два правила:
Правило сложения
Пусть k взаимоисключающих друг друга действия могут быть выполнены соответственно n1, n2 ,... , nk способами. Тогда какое-либо из действий можно выполнить n= n1 + n2 + ... + nk способами.
Правило умножения
Пусть нужно последовательно выполнить k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе – n2 способами, ... , k-е – nk способами, тогда все k действий можно выполнить n способами.:
.
В комбинаторике различают три вида различных соединений (комбинаций) элементов произвольного множества:
перестановки;
размещения;
сочетания.
Перестановками из m элементов называются такие их соединения, которые отличаются друг от друга порядком следования элементов.
-
Pm = m! = m .
(1.2)
Пример 7. Составить все возможные перестановки из трех элементов a, b, c.
abc bac cab acb bca cba
P3 = 3!=1·2·3=6.
Размещениями из n элементов по m называют такие соединения m элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним новым элементом или порядком их следования (m n).
-
(1.3)
Пример 8. Составить все возможные размещения из трех элементов a, b, c по 2 элемента.
ab ac bc
ba ca cb.
Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения m элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним новым элементом , порядок следования элементов не учитывается (m n).
-
(1.4)
Пример 9. Составить все возможные сочетания из трех элементов a, b, c по 2 элемента.
ab bс ac.
При решении ряда задач могут пригодиться следующие соотношения:
-
(1.5)
Cnm = Cnn-m ;
(1.6)
;
(1.7)
(1.8)