Лекция № 3 Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

1. Формула полной вероятности.

Часто для изучения опыта, с которым связано событие А, полезно ввести в рассмотрение события Н_i (i = 1, 2, … , n) гипотезы, для которых из тех или иных соображений известны априорные (доопытные) вероятности Р(Н_i) и условные вероятности Р(А/Н_i) наступления события А при условии, что произошло то или иное событие Н_i.

Теорема 3.

Если некоторое событие А может произойти только с одним из полной группы несовместных событий (гипотез) Н_i (i = 1,2,…,n) и известна априорная вероятность Р(Н_i) (i = 1,2,…,n) каждой гипотезы и условные вероятности Р(А/Нi) события А при условии, что осуществилась та или иная гипотеза, то полная, или средняя, вероятность события А определяется по формуле

(3.1)

Доказательство. Поскольку события Н_i попарно несовместны, а событие А может произойти либо совместно с событием Н₁, либо с Н₂, ... , либо с Н_n, то сложное событие А можно представить в виде суммы попарно несовместных событий:

А = Н₁А + Н₂А + ... + Н_nА.

Отсюда вероятность события А определяется в соответствии со следствием теоремы 1, то есть

P(А)= P(Н₁А + Н₂А + ... + Н_nА)= P(Н₁А) + P(Н₂А) + ... + P(Н_nА) .

Применяя к каждому слагаемому последнего выражения теорему 2, получим

P(А) = P(Н₁) Р(А/Н₁) + Р(Н₂) Р(А/Н₂) + ... + Р(Н_n)Р(А/Н_n) =

что и требовалось доказать.

Задача 3.1.

Завод выпускает приборы с гарантийным сроком эксплуатации один год. Известно, что 20% продукции будет эксплуатироваться в Заполярье, 75% – в местности с умеренным климатом, 5% – в пустыне. Известны также вероятности безотказной работы приборов в каждом регионе в течение гарантийного срока: 0,9 – в Заполярье; 0,99 – в местности с умеренным климатом; 0,8 – в пустыне.

Необходимо определить какой процент изделий следует выпустить дополнительно к плану для замены отказавших в течение гарантийного срока. При этом считается, что при замене изделий последние не отказывают.

Решение.

Дополнительно к плану следует выпустить столько изделий, сколько их откажет во всех регионах. Искомый дополнительный процент изделий – это полная вероятность отказа приборов по всем регионам, умноженная на 100%.

Введем обозначения:

А – безотказная работа прибора;

Н₁ –прибор будет эксплуатироваться в Заполярье;

Н₂ – прибор будет эксплуатироваться в местности с умеренным климатом;

Н₃ – прибор будет эксплуатироваться в пустыне.

Тогда вероятности осуществления гипотез, исходя из условия примера, составят:

P(Н₁) = ;

P(Н₂) = ;

P(Н₃) = .

Условные вероятности события А равны:

Р(А/Н₁) = 0,9; Р(А/Н₂) = 0,99; Р(А/Н₃) = 0,8 .

Определим полную вероятность безотказной работы прибора:

= 0,2∙0,9 + 0,75∙0,99 + 0,05∙0,8 = 0,9625 .

Полная вероятность отказа приборов по всем регионам определится как

Р( ) = 1 – Р(А) = 1 – 0,9625 = 0,0375 .

Искомая величина: Р( ) ∙ 100% = 3,75% .

2. Формула Байеса.

Формула Байеса используется в тех же условиях, что и формула полной вероятности. Единственное отличие состоит в том, что событие А уже произошло.

Формула Байеса позволяет определять апостериорные (послеопытные) вероятности гипотез Р(Н_i /А), i=1, 2, … , n , т.е. условные вероятности гипотез при условии, что событие А произошло.

Теорема 4.

Пусть некоторое событие А может произойти только с одним из полной группы несовместных событий (гипотез) Н_i (i=1,2,…,n) и известны априорные вероятности гипотез Р(Н_i), условные вероятности Р(А/Н_i) события А при условии, что осуществилась та или иная гипотеза, а также известно, что событие А произошло, то апостериорная вероятность гипотезы Нi (i=1,2,…,n) определяется по формуле

(3.2)

Эта формула называется формулой Байеса или теоремой гипотез.

Доказательство. На основании теоремы 2 о вероятности произведения двух событий определим вероятность одновременного появления событий А и Н_i в одном опыте:

Р(А∙Н_i) = Р(А) ∙P(Н_i /А) = P(Н_i) ∙P(А/Н_i)

Выразим P(Н_i /А ) через остальные вероятности:

что и требовалось доказать.

Прикладное значение формулы Байеса довольно велико. Она находит свое применение в

1. теории распознавания образов,

2. технической диагностике для поиска неисправности,

3. в медицинской диагностике для постановки диагноза больному,

4. в радиолокационной технике для отделения сигнала от шума

и во многих других задачах, когда необходимо выявить вероятную причину (гипотезу) происшедшего события.

Задача 3.2.

Пусть на завод-изготовитель поступила рекламация на отказавший прибор, условия эксплуатации которого были оговорены в задаче 3.1. Необходимо определить, в каком регионе вероятнее всего он эксплуатировался.

Решение. По условию задачи происшедшим событием является отказ прибора.

Имеем P(Н₁) = ; Р( /Н₁) = 1 – Р(А /Н₁) = 1 – 0,9 = 0,1 ;

P(Н₂) = ; Р( /Н₂) = 1 – Р(А /Н₂) = 1 – 0,99 = 0,01 ;

P(Н₃) = ; Р( /Н₃) = 1 – Р(А /Н₃) = 1 – 0,8 = 0,2 .

= 0,2∙0,1 + 0,75∙0,01 + 0,05∙0,2 = 0,0375 .

Апостериорные вероятности гипотез о предполагаемом регионе эксплуатации отказавшего прибора, согласно формуле Байеса, определятся следующим образом:

для гипотезы Н₁ (эксплуатация в Заполярье)

для гипотезы Н₂ (эксплуатация в местности с умеренным климатом)

для гипотезы Н₃ (эксплуатация в пустыне)

Таким образом, наиболее вероятным регионом, из которого поступила рекламация, является Заполярье. Данная гипотеза имеет самую большую апостериорную вероятность – 0,5333 .

Лекция № 4

Повторение опытов. Формула Бернулли.

Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Наивероятнейшее число наступления событий.